Simulation der Telegrafengleichung unter realistischen Versuchsbedingungen

Bearbeiter: P. Mathé, W. Metzner, H. Zacharias-Langhans,  

Kooperation: R. Willenbrock (SonoTech, Berlin), Y. Kashtanov (Universität St. Petersburg)

Förderung: BMBF

Beschreibung der Forschungsarbeit:

In diesem Projekt geht es darum, Ideen, die aus der Laser-Tomografie stammen, auf die Ultraschall-Tomografie zu übertragen. Ziel ist es, die Auflösungsmöglichkeiten bei Ultraschalluntersuchungen in den Bereichen Medizin und Materialprüfung zu verbessern. Dies soll durch eine Analyse der Form des reflektierten bzw. transmittierten Ultraschallimpulses geschehen.

Das grundlegende Problem des Projekts besteht in der Validierung der These, daß die tatsächlich beobachtete Pulsverformung durch eine Ausbreitung gemäß der Telegrafengleichung

$$\begin{eqnarray*} \frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} \phi + \frac{2\lambda}{c} \frac{\partial}{\partial t} \phi - \Delta \phi =0\end{eqnarray*}$$

(mit geeigneten Randbedingungen) erklärt werden kann.

R. Willenbrock und W. Metzner führen hierzu Präzisionsmessungen im Megahertzbereich durch, jeweils an einfachen (homogenen) Proben verschiedener Länge aus Polyethylen, Plexiglas und als Referenzmaterial Wasser. Ausgehend von diesen einfachen Meßsituationen soll schrittweise erreicht werden, realistische Versuchsbedingungen erfolgreich zu reproduzieren.

Zur Visualisierung und Analyse der gemessenen Daten wurde im Rahmen des Projekts ein Programm entwickelt, das den Benutzer beim Vergleich verschiedener Messungen durch automatische Funktionen (Skalierungen, Autokorrelation, Rauschfilter, Hilbert- und Fouriertransformation usw.) unterstützt. Weiterhin ist der Aufbau eines Wavelet-Moduls geplant, das eine Analyse im Zeit-Frequenz-Bereich erlaubt.

Zur Lösung der Telegrafengleichung wurden verschiedene Ansätze untersucht, u. a.

• die Transmission-Line-Methode (Y. Kashtanov [2])
• stochastische Methoden von M. Kac [1], E. Orsingher und A. S. Veselovskaya [3] (H. Zacharias-Langhans).

Beim Vergleich von gemessenen und simulierten Daten hat sich jedoch gezeigt, daß der Unterschied zwischen gesendetem und empfangenem Signal nicht allein durch die Telegrafengleichung erklärt werden kann, sondern in erster Linie durch den Frequenzgang des Empfangsgerätes bestimmt wird. Für die ,,Responsefunction`` des Empfängers wurde zwar inzwischen ein passables Modell gefunden, aber die Rekonstruktion des ,,wahren`` Signals (,,Deconvolution``) ist ein numerisch unstabiles Problem.

Nach dem aus unserer Sicht vorzuziehenden Modell von M. Kac läßt sich eine Lösung der Telegrafengleichung aus einer Lösung der Wellengleichung durch den Ersatz der Zeitvariablen t durch eine Zufallsvariable $T_{\lambda}(t)$, die ,,randomisierte Zeit``, gewinnen. Wir untersuchen nun, ob das Verfahren, diese Transformation beim gemessenen und nicht beim unbekannten ,,wahren`` Signal durchzuführen, zum einen mathematisch gerechtfertigt ist und zum anderen die Unterschiede zwischen den verschiedenen Materialproben erklären kann.

Projektliteratur:

1.  M. KAC, Some stochastic problems in physics and mathematics, Lect. Pure Appl. Sci., No. 2, 1956.
2.  Y. KASHTANOV, A note on the transmission line modeling method for wave equations, Manuskript, 1997.
3.  A. S. VESELOVSKAYA, On the solution of the mixed problem of the telegraph equation by means of a Monte Carlo method, Vestnik LGU, (1986), pp. 96-98.