Heterojunction
Analytische Untersuchungen von Elektro - Reaktions - Diffusionsgleichungen mit nichtglatten Daten


<--  Energie - Band - Diagramm einer typischen Hetero - Struktur
Mitarbeiter: A. Glitzky, R. Hünlich
Kooperation: K. Gröger
N. Strecker
W. Merz (Institut für Angewandte Mathematik Universität Erlangen Nürnberg)
B. Heinemann (Institut für Halbleiterphysik Frankfurt (Oder))
Laufzeit: Januar 1997 - Dezember 1999
Förderung: DFG Sachbeihilfe Kennzeichen Ga 452/2

Projektbeschreibung

Thema dieses Projekts war die analytische Untersuchung von Elektro-Reaktions-Diffusionsgleichungen mit nichtglatten Daten. Derartige Differentialgleichungssysteme entstehen unter anderem bei der Modellierung von verschiedenen Teilprozessen in der Fertigung von Halbleiterbauelementen. Aufgrund der zunehmenden Komplexität der Strukturen muss die Entwicklung leistungsstarker elektronischer Bauelemente wirkungsvoll durch numerische Simulation unterstützt werden. Diese wiederum erfordert die ständige Anpassung der Modelle und die mathematische Behandlung der Modellgleichungen. Viele auf physikalischen Überlegungen beruhende Modellvarianten führen zu Vereinfachungen bei der Simulation, bedeuten aber zusätzliche Schwierigkeiten für die qualitative Diskussion der Modelle.

Ausgangspunkt ist ein Basismodell, das den Transport elektrisch geladener Teilchen (Dotanden, Defekte, Elektronen und Löcher) in Halbleitern über die Mechanismen Drift, Diffusion, Volumen- und Randreaktionen beschreibt. Dieses Modell wurde auf gemischte Randbedingungen für die Poissongleichung erweitert und für Heterostrukturen untersucht. Unter der Annahme, dass die kinetischen Koeffizienten für die Elektronen und Löcher sehr groß sind im Vergleich zu denen der anderen beteiligten Spezies, wurde ein reduziertes Modell hergeleitet und diskutiert. Sind auch weitere kinetische Prozesse sehr schnell, so entstehen neue Grenzmodelle, die analytisch zu untersuchen waren. Besondere Aufmerksamkeit wurde dabei der Systematisierung von Paardiffusionsmodellen und ihrer funktionalanalytischen Behandlung geschenkt. Die Auswahl der behandelten Aufgaben erfolgte in enger Abstimmung mit dem am Institut angesiedelten BMBF-Projekt zur Modellierung und Simulation von hochsperrenden Bauelementen für Schaltkreise der angesteuerten Leistungselektronik.

Alle analytischen Resultate beziehen sich auf den räumlich zweidimensionalen Fall. Es gelang, eine einheitliche funktionalanalytische Formulierung zu für das Ausgangsmodell und das reduzierte Modell zu finden. Somit konnten Aussagen zu stationären Zuständen, energetischen Abschätzungen, a priori-Abschätzungen, zu semidiskreten Näherungsverfahren und zur Existenz und Einzigkeit von schwachen Lösungen nach einem einheitlichen Vorgehen hergeleitet werden. Für Probleme mit maximal quadratischen Quelltermen in den Volumenreaktionen wurde die Existenz schwacher Lösungen gezeigt. Über diese Reaktionsordnung hinaus konnte auch für Modelle mit einer speziellen Klasse von Reaktionen höherer Ordnung, mit sogenannten Clusterreaktionen, die Existenz einer schwachen Lösung und deren globale Beschränktheit nachgewiesen werden.

Es wurde ein konsistentes Schema zur Herleitung von Grenzmodellen aus dem Basismodell bei unterschiedlicher Größenordnung der kinetischen Koeffizienten gefunden. Dieses Verfahren sichert die Existenz genau einer stationären Lösung für die so reduzierte Aufgabe, liefert die thermodynamische Korrektheit der Grenzmodelle und überträgt sämtliche energetischen Abschätzungen. Dieses Schema wurde zur Reduktion von Paardiffusionsmodellen angewendet. Für den Fall einer homogenen Struktur wurde für ein sogenanntes Fünf-Spezies-Paardiffusionsmodell die eindeutige Lösbarkeit des entsprechenden Elektro-Reaktions-Diffusionssystems in homogenen Strukturen gezeigt.

Ergebnisse
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