Modelling and simulation of power devices for high-voltage integrated circuits

Das diesem Bericht zugrundeliegende Vorhaben wurde mit Mitteln des Bundesministeriums für Bildung und Forschung unter dem Förderkennzeichen 03HU7FV1/0 gefördert. Die Verantwortung für den Inhalt dieser Veröffentlichung liegt bei den Autoren.

Zusammenfassung

Beim Entwurf von hochsperrenden Bauelementen für Schaltkreise der Leistungselektronik haben sich Technologie- und Bauelementesimulation als wichtige Hilfsmittel erwiesen. Die technologische Weiterentwicklung erfordert ein Überdenken der zugrunde liegenden Modellgleichungen, eine verstärkte mathematische Behandlung der Modellprobleme und vor allem eine ständige Weiterentwicklung der Simulationsprogramme. Hauptziel des Vorhabens war die Erweiterung des Bauelementesimulators WIAS-TeSCA durch eine thermodynamisch fundierte Kopplung des Drift-Diffusionsmodells mit der Wärmeleitungsgleichung, da thermische und thermoelektrische Effekte in Leistungsbauelementen von Bedeutung sind. Industrieller Verbundpartner ist die Firma alpha microelectronics gmbh Frankfurt (Oder). Diese Firma entwickelt kundenspezifische Schaltkreise für Hochspannungsanwendungen. Transistoren aus solchen Schaltkreisen dienten als Testobjekte für unsere Entwicklungsarbeiten. Nach Abschluss des Vorhabens hat WIAS-TeSCA einen solchen Stand erreicht, dass verschiedene Hochspannungs-Transistoren effektiv simuliert werden können. Derartige Simulationen haben die Entwicklungsarbeiten der Firma erfolgreich unterstützt.
Eine weitere Zielstellung bestand in der Fortführung der mathematischen Analyse der Modellgleichungen. Sowohl für eine Variante des in WIAS-TeSCA implementierten thermodynamischen Energiemodells als auch für Paardiffusionsmodelle, die für die Halbleitertechnologie relevant sind, wurden neue Resultate erzielt. Dabei musste die Tatsache berücksichtigt werden, dass es sich hier durchweg um Aufgaben mit nichtglatten Daten handelt.

1. Aufgabenstellung

Beim Entwurf von hochsperrenden Bauelementen für Schaltkreise der Leistungselektronik haben sich Technologie- und Bauelementesimulation als wichtige Hilfsmittel erwiesen. Der Einsatz neuer Wirkprinzipien, neuer Materialien oder neuer technologischer Verfahren erfordert das Aktualisieren der zugrunde liegenden Modellgleichungen, eine verstärkte mathematische Behandlung der Modellprobleme und vor allem eine ständige Weiterentwicklung der eingesetzten Simulationsprogramme. Hauptziel des Vorhabens war die Erweiterung des am WIAS entwickelten Bauelementesimulators WIAS-TeSCA durch eine thermodynamisch fundierte Kopplung des Drift-Diffusionsmodells mit der Wärmeleitungsgleichung, da thermische und thermoelektrische Effekte in Leistungsbauelementen von Bedeutung sind.

Industrieller Verbundpartner war die Firma alpha microelectronics gmbh Frankfurt (Oder). Diese Firma entwickelt kundenspezifische Schaltkreise für Hochspannungsanwendungen. Einzelne Bauelemente aus solchen Schaltkreisen dienten als Testobjekte für unsere Entwicklungsarbeiten an WIAS-TeSCA.

Aus der grundsätzlichen Zielstellung leiteten sich weitere Aufgaben ab. Erstens mussten Modellgleichungen gefunden und so aufgearbeitet werden, dass sich mathematisch korrekte Problemstellungen ergeben. Hier wurde angestrebt, ein thermodynamisches Energiemodell zu finden, das wesentliche Eigenschaften von Halbleitermaterialien widerspiegelt. Zweitens ging es um die mathematische Analyse der Modellgleichungen, die der Bauelemente- oder Technologiesimulation zugrunde liegen. Prinzipiell handelt es sich hierbei um ein System von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen zur Beschreibung des Stoff-, Ladungs- und Energietransports in heterogenen Strukturen. Hier wurde angestrebt, neue Aussagen zu qualitativen Eigenschaften dieses Gleichungssystems zu gewinnen.

2. Ablauf des Vorhabens

Bezüglich der Weiterentwicklung und des Einsatzes des Bauelementesimulators WIAS-TeSCA wurde an folgenden Teilaufgaben gearbeitet:

• Untersuchungen zur physikalischen und mathematischen Modellierung,
• Implementierung der Wärmeleitungsgleichung in das Programmsystem,
• Test an einfachen Strukturen,
• Erarbeitung von Aussagen zur Gültigkeit und Verbesserung der Modelle,
• Berechnung von Kennlinien für verschiedene, von der Partnerfirma entwickelte Bauelementestrukturen, Vergleich mit experimentellen Daten,
• Aussagen zum Durchbruchverhalten der Bauelemente,
• Aussagen zur Auswirkung thermischer und thermoelektrischer Effekte.

Auch die analytischen Untersuchungen zu den Gleichungssystemen aus der Bauelemente- bzw. Technologiemodellierung wurden kontinuierlich vorangetrieben. Die Ergebnisse fanden ihren Niederschlag in einer inzwischen abgeschlossenen Dissertation sowie in einigen Veröffentlichungen (vgl. Abschn. 6).

3. Zusammenarbeit mit anderen Stellen

Zwischen den Bearbeitern des Projekts und den Kollegen W. Pfau, J. Knopke, R. Rothe der Firma alpha microelectronics gmbh fanden regelmäßige Arbeitstreffen statt, in denen Fragen, die für beide Seiten von Interesse waren, erörtert wurden. In Fragen zur Halbleiterphysik war B. Heinemann, Institut für Halbleiterphysik Frankfurt (Oder) GmbH, ein wichtiger Kooperationspartner. Diskussionspartner zu mathematischen Fragestellungen waren K. Gröger, L. Recke, Humboldt-Universität zu Berlin, und W. Merz, Technische Universität München.

4. Darstellung der erzielten Ergebnisse

Die erzielten Ergebnisse werden in den folgenden Darstellungen ausführlich beschrieben.

1.

W. Röpke, R. Hünlich, H. Gajewski

Simulation von Leistungstransistoren mit WIAS-TeSCA

In diesem Beitrag wird darauf eingegangen, in welchen Punkten der Bauelementesimulator WIAS-TeSCA weiterentwickelt werden musste, um verschiedene Leistungstransistoren aus den Schaltkreisen des Verbundpartners erfolgreich simulieren zu können. Nach Abschluss des Vorhabens hat WIAS-TeSCA nun einen solchen Stand erreicht, dass dies in effektiver Weise möglich ist. An einigen Beispielen wird gezeigt, wie Simulationen die Entwicklungsarbeiten der Firma erfolgreich unterstützt haben. Da hier firmenspezifische Dinge eine Rolle spielen, ist dieser Teil des Berichts vertraulich zu behandeln.

2.

R. Hünlich, G. Albinus, H. Gajewski, A. Glitzky, W. Röpke, J. Knopke

Modelling and simulation of power devices for high-voltage integrated circuits

Dies ist eine zusammenfassende Darstellung, die als Veröffentlichung der Ergebnisse des Vorhabens geplant ist. Am Beispiel eines für den Verbundpartner relevanten Leistungstransistors wird gezeigt, wie der weiterentwickelte Bauelementesimulator WIAS-TeSCA eingesetzt worden ist, um den Transistor zu optimieren. Darüberhinaus wird kurz auf die Modellgleichungen eingegangen, die einer Bauelemente- bzw. Technologiesimulation zugrunde liegen (thermodynamisches Energiemodell bzw. Paardiffusionsmodell). Ergebnisse zur analytischen Behandlung dieser Gleichungen werden zitiert.

3.

G. Albinus, H. Gajewski, R. Hünlich

Thermodynamic design of energy models of semiconductor devices

Grundlage für die Weiterentwicklung von WIAS-TeSCA war die Bereitstellung eines thermodynamisch fundierten Energiemodells. Hier ist es gelungen, ausgehend von einem Ansatz für die Dichte der freien Energie, ein System von Evolutionsgleichungen für verschiedene Varianten von Energiemodellen aufzustellen, die insbesondere Boltzmann- oder Fermi-Dirac-Statistik, nichtparabolische Bandstrukturen, die Kinetik tiefer Störstellen, unterschiedliche Ladungsträgertemperaturen sowie die Einbindung der nichtlokalen elektrostatischen Wechselwirkung umfassen. Diese Modelle genügen den Hauptsätzen der Thermodynamik in ihrer differentiellen bzw. integralen Form. Bei der Implementierung in WIAS-TeSCA wurde darauf geachtet, die Zeit- und Ortsdiskretisierungen so vorzunehmen, dass die diskreten Gleichungen ebenfalls den Hauptsätzen der Thermodynamik genügen.

4.

J. A. Griepentrog

Anwendung des Satzes über Implizite Funktionen auf ein Energiemodell

Dieser Beitrag stellt Resultate der mathematischen Analyse eines vereinfachten stationären Energiemodells zusammen. Hierbei handelt es sich um ein System von nichtlinearen elliptischen Differentialgleichungen mit nichtglatten Daten. Zur Behandlung dieser Aufgabe (im dreidimensionalen Fall) mußte die Regularitätstheorie für lineare elliptische Differentialgleichungen mit nichtglatten Daten weiterentwickelt werden, was u.a. Gegenstand der Dissertation des Autors war. Es zeigt sich, dass in einer geeigneten Skala von Sobolev-Campanato-Räumen der Satz über Implizite Funktionen angewendet werden kann, um die eindeutige Lösbarkeit der nichtlinearen Aufgabe in einer Umgebung des thermodyamischen Gleichgewichts nachzuweisen.

5.

A. Glitzky, R. Hünlich

Global properties of pair diffusion models

Um technologische Prozesse bei der Herstellung von Bauelementen simulieren zu können, braucht man Modelle für die Umverteilung der Dotanden bei einer Hochtemperaturbelastung der Trägerscheibe. Gegenwärtig werden verschiedene Paardiffusionsmodelle diskutiert, die insbesondere auch die Kinetik von Punktdefekten einschließen. Entsprechende Modellgleichungen bestehen im isothermen Fall aus Reaktions-Drift-Diffusionsgleichungen für mobile Teilchen, Reaktionsgleichungen für immobile Teilchen sowie einer nichtlinearen Poissongleichung, die wiederum in Heterostrukturen zu betrachten sind. Für dieses Gleichungssystem werden eine Reihe wichtiger qualitativer Eigenschaften bewiesen. Ausgehend von Abschätzungen für die freie Energie, die mit Methoden der konvexen Analysis gewonnen werden, lassen sich mit Moser-Iteration globale Schranken nachweisen. Abschließend werden Aussagen zum asymptotischen Verhalten begründet.

5. Verwertbarkeit der Ergebnisse

Das im Verlaufe des Vorhabens weiterentwickelte Simulationsprogramm WIAS-TeSCA steht allen Nutzern, die die neue Version erhalten, zur Verfügung. Die Einbeziehung der Wärmeleitungsgleichung ist nicht nur für die Leistungselektronik von Bedeutung, sondern auch für andere Gebiete der Mikro-, Nano- und Optoelektronik (siehe z. B. hier).

Bezüglich der mathematischen Untersuchung der hier betrachteten Systeme von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen mit nichtglatten Daten wurden neue Ergebnisse erzielt und veröffentlicht, die Ausgangspunkt für die Bearbeitung weitergehender Fragestellungen sein werden.   

6. Publikationen

Publikationen in Zeitschriften, Sammelwerken:

1.

G. Albinus, Remarks on the convex analysis of the energy model of semiconductor devices, Lecture Notes in Computational Science and Engineering 8 (1999), 375-385.

2.

G. Albinus, H. Gajewski, R. Hünlich, Thermodynamic design of energy models of semiconductor devices, Nonlinearity (eingereicht), WIAS Preprint 573, Berlin, 2000.

3.

A. Glitzky, R. Hünlich, Global properties of pair diffusion models, Adv. Math. Sci. Appl. (angenommen), WIAS Preprint 587, Berlin, 2000.

4.

J. A. Griepentrog, An application of the Implicit Function Theorem to an energy model of the semiconductor theory, Z. Angew. Math. Mech. 79 (1999), 43-51, WIAS Preprint 333, Berlin, 1997.

5.

J. A. Griepentrog, L. Recke, Linear elliptic boundary value problems with non-smooth data: Normal solvability on Sobolev-Campanato spaces, Math. Nachr. (angenommen), WIAS Preprint 446, Berlin, 1998.

6.

R. Hünlich, G. Albinus, H. Gajewski, A. Glitzky, W. Röpke, J. Knopke, Modelling and simulation of power devices for high-voltage integrated circuits (eingereicht), WIAS Preprint 578, Berlin, 2000.

7.

R. Hünlich, A. Glitzky, On energy estimates for electro-diffusion equations arising in semiconductor technology, Research Notes in Mathematics 406 (2000), 158-174, WIAS Preprint 429, Berlin, 1998.

8.

W. Merz, A. Glitzky, R. Hünlich, K. Pulverer, Strong solutions for pair diffusion models in homogeneous semiconductors, Nonlinear Anal. (angenommen), SFB-438 Preprint 9921, München, Augsburg, 1999.

Konferenzbeiträge:

1.

G. Albinus, Convex analysis of the energy model of semiconductor devices, International FORTWIHR Conference 1998, Siemens München-Perlach, 18. 3. 1998.

2.

A. Glitzky, Electro-reaction-diffusion systems in heterostructures, International Congress of Mathematicians, Berlin, 19. 8. 1998.

3.

R. Hünlich, On energy estimates for electro-diffusion equations arising in semiconductor technology, Conference ,,Partial Differential Equations. Theory and Numerical Solutions``, Prag, 14. 8. 1998.

4.

R. Hünlich, A. Glitzky, W. Röpke, Modelling and simulation in the technology of power devices, Poster, International Congress of Mathematicians, Berlin, 19. 8. 1998.

Diplomarbeiten, Doktorarbeiten, Habilitationsschriften:

1.

J. A. Griepentrog, Zur Regularität linearer elliptischer und parabolischer Randwertprobleme mit nichtglatten Daten, Dissertation, Humboldt-Universität zu Berlin, 2000, LOGOS-Verlag Berlin.

Poster:

1.

R. Hünlich, G. Albinus, A. Glitzky, J. Griepentrog, W. Röpke, Modellierung und Simulation von hochsperrenden Bauelementen für Schaltkreise der Leistungselektronik, Poster, Statusseminar im BMBF-Mathematikprogramm, Heidelberg, 29.-31. 10. 1997.

2.

R. Hünlich, W. Röpke, A. Glitzky, Modelling and simulation of power devices for high-voltage integrated circiuts, Poster, Statusseminar im BMBF-Mathematikprogramm, Erlangen, 17.-19. 2. 1999.

3.

R. Hünlich, G. Albinus, H. Gajewski, A. Glitzky, J. A. Griepentrog, W. Röpke, Modelling and simulation of power devices for high-voltage integrated circiuts, Poster, Statusseminar im BMBF-Mathematikprogramm, Frankfurt am Main, 11.-12. 12. 2000.