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Kooperation: H.-J. Diersch (WASY GmbH Berlin), R. Kornhuber (Freie Universität Berlin)
Förderung: BMBF
Beschreibung der Forschungsarbeit:
Im Rahmen des BMBF-Projektes ,,Adaptive Lösungsstrategien für Transportprozesse in porösen Medien`` wurden in Absprache mit dem Projektpartner a posteriori-Fehlerschätzer in der Klasse der linearen elliptischen Probleme weiterentwickelt.
Ziel war es, Fehlerschätzer zu entwickeln, die robust bezüglich der Diffusion sind. In der Literatur waren bis 1999 nur Ansätze für konstante Diffusionskoeffizienten vorhanden. Es ist gelungen, eine theoretische Grundlage für neue a posteriori-Fehlerschätzer zu schaffen. Die neuen Fehlerschätzer sind eine Modifikation der bisher verwendeten.
Dazu wird die Eigenschaft der Quasimonotonie des Diffusionskoeffizienten verwendet. Wir konnten zeigen, dass die Fehlerschätzer in der Klasse der quasimonotonen Diffusionskoeffizienten den Fehler robust von oben und von unten schätzen (Resultat 2D und 3D). Numerische Testbeispiele bestätigten dies ([1]).
Die verwendeten Fehlerschätzer sind als residuenbasierte Fehlerschätzer und als Fehlerschätzer, die auf lokalen Problemen beruhen, zu klassifizieren. Es wurde ein neuer Fehlerschätzer vorgestellt, der auf der Lösung eines lokalen Dirichletproblems auf jeweils zwei benachbarten Simplices beruht. Theoretisch und programmtechnisch sind Randbedingungen erster, zweiter oder dritter Art zugelassen.
Fehlerschätzer, die auf einem hierarchischen Ansatz aufbauen, wurden ebenfalls berücksichtigt. Unter Umständen liefern auch sie brauchbare Resultate. Fehlerschätzer, die auf der Idee von Zienkiewicz-Zhu beruhen, erwiesen sich dagegen sowohl theoretisch als auch in numerischen Tests als unbrauchbar.
Außerdem wurde untersucht, wie die Quasimonotonie des Diffusionskoeffizienten mit der Regularität der Lösung zusammenhängt. Wir konnten zeigen, dass die Lösung bei quasimonotonen Diffusionskoeffizienten in einem Sobolevraum H5/4 liegt (Resultat in 2D). Ohne Quasimonotonie erhält man nur die schlechtere Regularität H1. Die Regularität der Lösung ist deshalb von Bedeutung, weil sie die Approximationseigenschaften der Finiten Elemente bestimmt.
Über den Interface-Manager des Programmes FEFLOW unseres Praxispartners wurde eine Offline-Schnittstelle geschaffen, die es erlaubt Probleme in FEFLOW zu formulieren und in pdelib zu rechnen und zu verfeinern. Gegenwärtig werden in Zusammenarbeit mit dem Praxispartner Testprobleme mit realen Daten gerechnet. In Abb. 1 wurde ein FEFLOW-Problem von pdelib adaptiv verfeinert.
Projektliteratur:
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