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Kooperation: H.-J. Diersch (WASY GmbH Berlin), R. Kornhuber (Freie Universität Berlin)
Förderung: BMBF
Beschreibung der Forschungsarbeit:
Im Rahmen des BMBF-Projektes ,,Adaptive L�sungsstrategien f�r Transportprozesse in por�sen Medien`` wurden in Absprache mit dem Projektpartner a posteriori-Fehlersch�tzer in der Klasse der linearen elliptischen Probleme weiterentwickelt.
Ziel war es, Fehlersch�tzer zu entwickeln, die robust bez�glich der Diffusion sind. In der Literatur waren bis 1999 nur Ans�tze f�r konstante Diffusionskoeffizienten vorhanden. Es ist gelungen, eine theoretische Grundlage f�r neue a posteriori-Fehlersch�tzer zu schaffen. Die neuen Fehlersch�tzer sind eine Modifikation der bisher verwendeten.
Dazu wird die Eigenschaft der Quasimonotonie des Diffusionskoeffizienten verwendet. Wir konnten zeigen, dass die Fehlersch�tzer in der Klasse der quasimonotonen Diffusionskoeffizienten den Fehler robust von oben und von unten sch�tzen (Resultat 2D und 3D). Numerische Testbeispiele best�tigten dies ([1]).
Die verwendeten Fehlersch�tzer sind als residuenbasierte Fehlersch�tzer und als Fehlersch�tzer, die auf lokalen Problemen beruhen, zu klassifizieren. Es wurde ein neuer Fehlersch�tzer vorgestellt, der auf der L�sung eines lokalen Dirichletproblems auf jeweils zwei benachbarten Simplices beruht. Theoretisch und programmtechnisch sind Randbedingungen erster, zweiter oder dritter Art zugelassen.
Fehlersch�tzer, die auf einem hierarchischen Ansatz aufbauen, wurden ebenfalls ber�cksichtigt. Unter Umst�nden liefern auch sie brauchbare Resultate. Fehlersch�tzer, die auf der Idee von Zienkiewicz-Zhu beruhen, erwiesen sich dagegen sowohl theoretisch als auch in numerischen Tests als unbrauchbar.
Au�erdem wurde untersucht, wie die Quasimonotonie des Diffusionskoeffizienten mit der Regularit�t der L�sung zusammenh�ngt. Wir konnten zeigen, dass die L�sung bei quasimonotonen Diffusionskoeffizienten in einem Sobolevraum H5/4 liegt (Resultat in 2D). Ohne Quasimonotonie erh�lt man nur die schlechtere Regularit�t H1. Die Regularit�t der L�sung ist deshalb von Bedeutung, weil sie die Approximationseigenschaften der Finiten Elemente bestimmt.
�ber den Interface-Manager des Programmes FEFLOW unseres Praxispartners wurde eine Offline-Schnittstelle geschaffen, die es erlaubt Probleme in FEFLOW zu formulieren und in pdelib zu rechnen und zu verfeinern. Gegenw�rtig werden in Zusammenarbeit mit dem Praxispartner Testprobleme mit realen Daten gerechnet. In Abb. 1 wurde ein FEFLOW-Problem von pdelib adaptiv verfeinert.
Projektliteratur:
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