Dynamik von Halbleiterlasern

Kooperation: V. Tronciu (Technische Universität Moldawien), H.-P. Nolting, B. Sartorius, D. Hoffmann (Heinrich-Hertz-Institut für Nachrichtentechnik (HHI) Berlin), H.-J. Wünsche (Institut für Physik, HU Berlin), L. Recke (Institut für Mathematik, HU Berlin), H. Wenzel (Ferdinand-Braun-Institut für Höchstfrequenztechnik, Berlin)

Die Untersuchung von nichtlinearen dynamischen Effekten in DFB-Halbleiterlasern ist ein zentrales, längerfristiges Projekt der Forschungsgruppe. Bearbeitet wird dabei ein breites Spektrum von Fragestellungen, das sowohl das grundlegende mathematische Verständnis der auftretenden Modelle, die problemangepasste Modellierung als auch die Simulation und Optimierung bei der Entwicklung von konkreten Bauelementen betrifft, die von den Kooperationspartnern am HHI durchgeführt wird. Dort wird versucht, kompliziertes nichtlineares Verhalten (Synchronisation, hochfrequente Selbstpulsation, schnelles Schalten) von DFB-Mehrsektionslasern für den Einsatz in Bauelementen zur rein optischen Datenverarbeitung und Signalregeneration nutzbar und beherrschbar zu machen. Ausgangspunkt für unsere Untersuchungen zur zeitlichen Dynamik von DFB-Mehrsektionslasern sind die folgenden Modellgleichungen

$\parbox {14cm}{ \begin{eqnarray*} \frac{\partial \psi}{\partial t} & = & H(\beta... ...\ \frac{\partial n}{\partial t} & = & f (n, \vert\psi\vert^2).\end{eqnarray*}}$ $% latex2html id marker 2770 \parbox {1cm}{\begin{eqnarray}\end{eqnarray}}$

Dabei beschreibt der komplexe Vektor $\psi \equiv (\psi^+ (t,z), \psi^- (t,z))$ das longitudinale zeitliche Verhalten der vorwärts- bzw. rückwärtslaufenden optischen Welle; der lineare hyperbolische Operator $H(\beta(n))$ modelliert die Wellenausbreitung, Lichtverstärkung und interne Kopplung am Bragg-Gitter. Die Ladungsträger n(t,z) sind nichtlinear an das optische Feld gekoppelt und können sowohl gemittelt über einzelne Sektionen als auch räumlich aufgelöst betrachtet werden.

Die Reflexion an den Facetten des Lasers sowie ein möglicher optischer Input a(t) werden durch geeignete Randbedingungen der Gestalt

$\begin{eqnarray} \psi^+ (t,0) = r_0\psi^- (t,0); \ \psi^- (t,1) = r_1\psi^+ (t,1) + a(t)\end{eqnarray}$

Bezüglich der Modellgleichungen (1), (2) wurden folgende Untersuchungen durchgeführt:

Lösbarkeit des Anfangs-Randwertproblems für die Modellgleichungen (1), (2).

Das hyperbolische Gleichungssystem (1) wurde bisher nur mit sektionsweise gemittelten Ladungsträgerdichten analytisch auf seine Lösbarkeit untersucht. Mathematisch bewirkt dieser Mittelungsprozess eine erhebliche Vereinfachung des Existenzbeweises für eine Lösung.

Gegenstand der analytischen Untersuchungen waren Systeme (1), (2), bei denen auch zeitlich unstetige optische Inputs a(t) und Ströme I(t) zugelassen werden. Dies macht es erforderlich, ein geeignetes Konzept schwacher Lösungen einzuführen. Diese Lösungen erfüllen die zu (1) gehörende Integralgleichung nur im schwachen Sinne und die zweite Randbedingung in (2) nur in der aufintegrierten Form:

$\begin{displaymath} \int_0^t\psi^-(s,1)ds=r_1 \int_0^t\psi^+(s,1)ds +\int_0^t a(s)ds \mbox{.} \end{displaymath}$

Das Differentialgleichungssystem (1) wurde in der folgenden abstrakten Form untersucht:

$\parbox {13cm}{ \begin{eqnarray*} \dot{\psi} & = & H(\beta(n)) \psi, \ \dot{n}_... ...repsilon F_i (n) - \psi^\top G_i (n) \psi^* , \ i=1, \dots , k.\end{eqnarray*}}$ $% latex2html id marker 2774 \parbox {1cm}{\begin{eqnarray}\end{eqnarray}}$

Dabei ist $\psi \in C^p$ ein komplexer Vektor, $n= (n_1 , \dots , n_k) \in R^k$ ein reeller Vektor und $\varepsilon$ ein kleiner Parameter; die Matrizen G_i (n) sind hermitesch und positiv definit. Diese Gleichungen können als abstrakte Lasergleichungen mit linearer Optik, etwa im Sinne einer Galerkin-Approximation von (1), angesehen werden. Für (3) wurde gezeigt, dass alle Lösungen, deren Ausgangsleistung durch $\vert\psi\vert^2 \approx \varepsilon$ charakterisiert wird, die also vergleichbar mit der der stationären Lösung sind, in einer kleinen Umgebung einer kritischen Fläche liegen, deren n-Koordinate die Eigenschaft aufweist, dass $H(\beta(n))$ mindestens einen Eigenwert auf der imaginären Achse besitzt. Aus Stabilitätsgründen konzentrieren wir uns nur auf den Teil der kritischen Fläche, wir bezeichnen sie als Schwellenfläche, wo $H(\beta(n))$ keine Eigenwerte mit positivem Realteil besitzt. Falls m die Anzahl der Eigenwerte auf der imaginären Achse darstellt, wird die Existenz einer attrahierenden (2m+k)-dimensionalen invarianten Mannigfaltigkeit in der Nähe der Schwellenfläche gezeigt, d. h. nur m Komponenten von $\psi$ können in diesem Fall essentiell von null verschieden sein. Im Allgemeinen ist die Anzahl m der kritischen Moden klein, so dass das erwähnte Resultat die Modellierung von Lasergleichungen mit nur einer geringen Anzahl von optischen Moden rechtfertigt. Im generischen Fall ist m=1, und wir können zeigen, dass die Existenz von Parameterregimen mit Selbstpulsationen hier sehr unwahrscheinlich ist (das entsprechende Parametergebiet ist von der Größenordnung $\varepsilon$ ). Es konnte weiterhin nachgewiesen werden, dass mit mehreren kritischen Moden (m=2), oder wenn ein einzelner kritischer Eigenwert die imaginäre Achse nicht generisch kreuzt, wesentlich bessere Aussichten für das Auftreten von Selbstpulsationen bestehen, da in diesem Fall das entsprechende Gebiet im Parameterraum von der Größenordnung $\varepsilon^{1/3}$ ist ([6]).

Modellierung des passiven dispersiven Reflektors im Rahmen der Einmodenapproximation. Betrachtet man Laser mit nur einer aktiven Sektion und reduziert das System (1) auf die dominante Mode von $H(\beta(n))$ , so erhält man ein reelles zweidimensionales System gewöhnlicher Differentialgleichungen

$\begin{eqnarray} \frac{dp}{dt}&=& T G(n) p ,\ \frac{dn}{dt}&=& I-n-(1+n)K(n)p\end{eqnarray}$

für die skalierte optische Leistung p der ausgewählten Mode und die skalierte gemittelte Ladungsträgerdichte n in der aktiven Sektion (die Schwelldichte wurde in den Ursprung verschoben, so dass G(0)=0 gilt). Die Eigenschaften der als dispersiver Reflektor agierenden passiven Lasersektion gehen in dieses System nur durch die Funktionen G(n) und K(n) ein. Im Einsektionslaser gilt G(n)=n und K(n)=1.

Der dispersive Reflektor bewirkt typischerweise eine Lorentz-artige Resonanz in K und eine Änderung $\alpha$ des Anstiegs von G(n) in . Dieser Zugang gestattet, die Dynamik im System (4), (5) in Abhängigkeit von $\alpha$ sowie der Position n₀ und der Höhe A der Resonanz von K(n) (siehe Bilder auf der linken Seite in Abb. 1) zu untersuchen (siehe [1]). Die Resultate der numerischen Bifurkationsanalyse sind im Bifurkationsdiagramm im rechten Bild in Abb. 1 dargestellt.

**Abb. 1:** Darstellung der Funktionen K(n) und G(n) (links) und des Bifurkationsdiagrammes zu (4), (5) mit den Angaben zu den Grenzmengen (rechts).
$\ProjektEPSbildNocap {0.7\textwidth}{fig2_js_1b.eps}$

Die dargestellten Bifurkationsszenarien wurden auch in den Simulationen des Modells (1) beobachtet (siehe Jahresforschungsbericht 1998 ). Weiteres Ziel der Untersuchungen war die Frequenz der Selbstpulsationen. Es wurde festgestellt, dass diese Frequenz nicht nur durch den Pumpstrom (siehe Jahresforschungsbericht 1998 ), sondern auch durch $\alpha$ erhöht werden kann.

Hauptgegenstand unserer Modellierung sind Laser, die aus zwei DFB-Sektionen (Gainsektion, Reflektorsektion) und einer Fabry-Perot-Sektion (Phasensektion) bestehen. Die Reflektorsektion wird so gepumpt, dass sie im Wesentlichen als passiver Reflektor dient. Eine geeignete Wahl des Pumpstromes in der Phasensektion führt zu DQS-Selbstpulsationen des Lasers. Das Ziel der numerischen Untersuchungen besteht darin, durch geeignete Wahl der Laser-Parameter robuste DQS-Selbstpulsationen mit hoher Frequenz zu erzielen.

Das im Folgenden verwendete Modell erhalten wir aus (1), (2), indem wir für $\beta(n)$ in den einzelnen Sektionen die folgenden Ausdrücke verwenden:

$\parbox {14cm}{ \begin{eqnarray*} \beta_l (n) = \delta - i(\alpha/2)+ 0.5(i+... ...hi /2 \vert L_p\vert - \alpha_p/2; & \beta_r =- i \alpha_r/2. \end{eqnarray*}}$ $% latex2html id marker 2784 \parbox {1cm}{\begin{eqnarray}\end{eqnarray}}$

Dabei bedeutet |L_p| die Länge der Phasensektion, $\alpha$ beschreibt den Verlust in den einzelnen Sektionen, n stellt die räumlich gemittelte Ladungsträgerdichte in der Gainsektion dar.

Dieses vereinfachte Modell vernachlässigt die Dynamik der Ladungsträger in Phasensteuerungs- und Reflektorsektion, sie dienen als passiver dispersiver Reflektor (PDR) für die Gainsektion.

Die numerischen Resultate der nächsten Abschnitte wurden sowohl für das vollständige als auch für das PDR-Modell erhalten.

**Abb. 2:** Laser mit zwei DFB-Sektionen und einer integrierten Phasensteuerungssektion.
$\ProjektEPSbildNocap {0.5\textwidth}{fig2_mr_3.eps}$

Um Selbstpulsationen zu erhalten, muss die folgende relative Lage der Reflexionsspektren von Gain- (durchgezogene Kurve) und Reflektorsektionen (punktierte Kurve) durch geeignete Wahl des Detuning $\delta$ (siehe linkes Bild in Abb. 3) erhalten werden.

**Abb. 3:** Typische Reflektionsspektren der DFB-Sektionen und die Spektren des optischen Outputs bei Selbstpulsation (linkes Bild), Output-Leistung bei variierender Phasenbedingung (rechtes Bild).
$\ProjektEPSbildNocap {1\textwidth}{fig2_mr_1.eps}$

Die dünne durchgezogene Linie im linken Bild stellt das optische Spektrum des Outputs an der Facette der Lasersektion dar. Die Zeichen ,,+`` und ,,-`` markieren, ob die langwellige oder die kurzwellige DFB-Mode der Gainsektion dominant ist. Wie im Bild gezeigt, muss die ,,+``-Mode mit einer abklingenden Flanke des Spektrums der Reflektorsektion übereinstimmen. In diesem Fall kann durch Anpassen des Phasenparameters $\varphi$ eine Selbstpulsation gefunden werden, wie im rechten Bild von Abb. 3 zu sehen ist. Die durchgezogene Linie ( $\varphi$ von nach $2\pi$ variiert) und die gestrichelte Linie ( $\varphi$ von $2\pi$ nach variiert) stellen entweder den stationären Output oder Maximum und Minimum während einer Periode der Selbstpulsation dar. In allen Fällen, ausgenommen der Punkt A, ist eine Mode deutlich dominant. ,,+`` bzw. ,,-`` über den Linien markieren, ob die langwellige oder die kurzwellige Mode der Gainsektion aktiv ist. Das große Intervall ( $\varphi/2\pi \in [B,E]$ ) mit DQS-Selbstpulsationen wird für fallendes $\varphi$ (im Bild von links nach rechts) beobachtet. Das entspricht steigendem Pumpstrom in der Phasensteuerungssektion. Bei steigendem $\varphi$ beobachten wir DQS-Selbstpulsationen nur im Intervall $\varphi/2\pi \in [C,B]$ . Gleichzeitig treten DQS-Selbstpulsationen eines anderen Typs auf der ,,-``-Mode im Intervall $\varphi/2\pi \in [D,C]$ auf. Dieses Verhalten der Lösung wird dadurch erklärt, dass die ,,-``-Mode starkes Feedback vom Reflektor (siehe linkes Bild in Abb. 3) bekommt.

Zu diesem Zweck führen wir die statische Verstimmung $\delta$ zwischen den beiden DFB-Gittern als Design-Parameter ein (siehe [4]). Dieses Herangehen ist durch die Beobachtung motiviert, dass die nicht pulsierende ,,-``-Mode (Bild links in Abb. 3) ein stärkeres Feedback von der Reflektorsektion erhält als die pulsierende ,,+``-Mode. Wir erwarten, dass das Parametergebiet, in dem Selbstpulsationen auftreten, durch Verminderung des Feedbacks für die nicht pulsierende Mode, z. B. durch geeignete Gitterverstimmung, vergrößert wird. Um diese Hypothese zu überprüfen, wurde der Verstimmungsparameter $\delta$ über einen 15 nm großen Bereich variiert. Für jedes $\delta$ wurde der Phasenwinkel $\varphi$ abwärts geändert, von $2\pi$ bis . Die Regionen mit DQS-Selbstpulsationen sind im oberen Bild von Abb. 4 als weiße Inseln mit dicken

**Abb. 4:** Verschiedene Pulsationsregionen der Ebene Verstimmung-Phasenbedingung (oben) und die Feedback-Spektren der DFB-Sektionen für verschiedene Werte von $\delta_g$ (unten).
$\ProjektEPSbildNocap {0.7\textwidth}{fig2_mr_2.eps}$

schwarzen Rändern eingezeichnet. Insel 1 in der Mitte und die Selbstpulsationen darin entsprechen der Situation in Abb. 3. Graue und weiße Gebiete außerhalb der Inseln zeigen an, ob die kurzwellige oder die langwellige Mode aktiv ist.

Der untere Teil von Abb. 4 stellt die Feedback-Spektren der Reflektorsektion (gepunktet) und der Gainsektion (durchgezogen) für die verschiedenen zu Pulsationsinseln gehörenden Verstimmungen dar. Die gestrichelten vertikalen Linien zeigen an, welche der DFB-Moden der Gainsektion jeweils aktiv ist.

Bemerkenswert ist, dass es Phasenparameter gibt, für die die Gainsektionsmode mit betragsmäßig deutlich kleinerem Feedback dominiert. Im oberen Teil des Bildes erkennt man die Sprünge zur Mode mit kleinerem Feedback als schmale Streifen (Wechsel zwischen grau und weiß) im Bereich mit moderatem Detuning. Bei großem Detuning, d. h. dort, wo diese Modensprünge vollständig verschwinden, wurden, wie erwartet, neue große Selbstpulsationsinseln entdeckt.