Simulation der Ultraschallausbreitung

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Simulation der Ultraschallausbreitung

Bearbeiter: P. Mathé , W. Metzner , J.-H. Zacharias-Langhans

Kooperation: G&W INSTRUMENTS (Berlin), Y. Kashtanov (St. Petersburg)

Förderung: BMBF

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Das bereits im vergangenen Jahr entwickelte Programm US 2.0 zur Visualisierung und Analyse der gemessenen Daten wurde weiterentwickelt, so daß es nun eine benutzerfreundliche Windows-Oberfläche erhalten hat, sowie Schnittstellen, die es erlauben, zur Laufzeit Daten mit anderen Programmen, die die Ausbreitung von Schallwellen in nichthomogenen Medien simulieren, auszutauschen.

Der bisherige Industriepartner SONOTECH ist nunmehr Partner der Firma G&W Instruments (Berlin) geworden. G&W INSTRUMENTS stellt uns erheblich aufwendigere und präzisere Meßapparaturen zur Verfügung, als dies SONOTECH möglich war. So sind wir nun durch die Anschaffung eines Wassertanks in der Lage, reproduzierbare und stabile Messungen an komplizierteren Objekten, wie z. B. organischen Materialien, durchzuführen.

Aus mathematischer Sicht muß bemerkt werden, daß die These, derzufolge sich Schallwellen in den von uns untersuchten Materialien Polyethylen und Plexiglas gemäß der Telegrafengleichung ausbreiten, zwar bestätigt werden konnte, aber nicht zu der gewünschten Differenzierung zwischen Streu- und Absorptionsparametern führte, sondern eine im Rahmen unserer Meßgenauigkeit mit der Wellengleichung gleichwertige Beschreibung der Signale darstellt. Es wird daher versucht, die Signaldeformationen durch andere Effekte, insbesondere an Materialübergängen zu erklären, vgl. [2].

Jedoch hat die Analyse der auf M. Kac zurückgehenden probabilistischen Darstellung der Lösung der eindimensionalen Telegrafengleichung zu einem neuen Beweis derselben geführt, der sich zumindest auf zwei, wahrscheinlich auch auf drei Dimensionen übertragen läßt. Dies führt zu einem speziellen Grenzwertsatz auf den Gruppen $SO(1),\ SO(2)$ und SO(3) in den entsprechenden Raumdimensionen ${\mathbb R},\ {\mathbb R}^{2}$ und ${\mathbb R}^{3}$ . Physikalisch beschreibt dies die diskrete Approximation des Strahlungstransportproblems

$\begin{displaymath} \frac{\partial p_\alpha}{\partial t} = - < e_\alpha,\nabla\g... ...int K(\alpha, \alpha^\prime) p_{\alpha^\prime} d\alpha^\prime,\end{displaymath}$

wobei $\alpha$ den Raumwinkel bezeichnet. Obige Gleichung läßt sich unter bestimmten Annahmen aus der Wellengleichung ableiten. Derartige Ansätze gehen auf [3] zurück. Dieselbe Darstellung eröffnet weiterhin die Möglichkeit zu einer probabilistischen Interpretation der sogenannten TLM-Methode zur Lösung von Wellengleichungen in nichthomogenen Medien. Hier scheint uns ein geeigneter Ansatz zur Parameterbestimmung zu liegen, analog zu Methoden, die in der Geologie verwandt werden, siehe [1].

Projektliteratur:

M. ASH, W. KOHLER, G. PAPANICOLAOU, M. POSTEL, B. WHITE, Frequency content of randomly scattered signals, SIAM Rev., 33 (1998), pp. 519-626.
Y. N. KASHTANOV, A model of reflected pulse, Manuskript, 1998.
A. KISYNSKI, On M. Kac's probabilistic Formula for the Solution of the Telegraph Equation, Ann. Polon. Math., XXIX (1974), pp. 259-272.