Adaptive Verfahren für Transportprozesse in porösen

[Next]:

Gittergenerierung

[Up]:

Projektbeschreibungen

[Previous]:

Simulation von monolithisch integrierten Mikrowellenschaltungen und

[Contents]

[Index]

Adaptive Verfahren für Transportprozesse in porösen Medien

Bearbeiter: J. Fuhrmann , M. Petzoldt

Kooperation: H. J. Diersch (WASY GmbH, Berlin)

Förderung: BMBF

Beschreibung der Forschungsarbeit: Viele Transportprozesse in por�sen Medien lassen sich mit Hilfe von partiellen Differentialgleichungen der Art

$\begin{displaymath} \partial_t b(x,u) - \nabla\cdot (k(x,u) \nabla u + \mbox{\bf q}(x,u)) =f\end{displaymath}$

beschreiben. Bei der numerischen Behandlung dieser Verfahren m�ssen Ph�nomene wie stark variierende ortsabh�ngige Koeffizienten, Konvektion und Nichtlinearit�t beachtet werden.

Ziel des Projektes ist die Weiterentwicklung von adaptiven Algorithmen und Fehlersch�tzern f�r solche Probleme. Es soll eine praxisrelevante, robust behandelbare Unterklasse gefunden und innerhalb des Systems FEFLOW der WASY GmbH implementiert werden. Basis daf�r sind aus der Literatur bekannte Fehlersch�tzer sowie die Toolbox pdelib mit adaptiven Kernen aus KASKADE bzw. ALBERT . Im Berichtszeitraum wurden ausf�hrliche Untersuchungen zu linearen Diffusionsproblemen mit �rtlich variablen Koeffizienten

$\begin{displaymath} \partial_t u - \nabla\cdot k(x) \nabla u =0\end{displaymath}$

auf der Grundlage theoretischer �berlegungen und numerischer Experimente vorgenommen. Das Hauptproblem besteht dabei im Verlust der H²-Regularit�t, die bei den meisten Untersuchungen in der Literatur vorausgesetzt wird. Wir konzentrierten uns auf Fehlersch�tzer, die f�r eine Erweiterung auf unstetige Diffusionskoeffizienten vielversprechend erschienen. Das waren im wesentlichen residuenbasierte Fehlersch�tzer [1-3]. Unter gewissen Bedingungen k�nnen klassische Fehlersch�tzer auf Probleme mit unstetigen Diffusionskoeffizienten theoretisch fundiert erweitert werden.

Die von Verf�rth vorgeschlagenen Fehlersch�tzer erlaubten weiterhin eine Erweiterung auf Diffusions-Konvektions-Reaktions-Probleme. Der reaktive Term kann durch einen bei der Zeitdiskretisierung entstehenden Term ersetzt werden. Diese Technik erm�glicht somit Fehlersch�tzer f�r transiente Probleme.

Die Fehlersch�tzer wurden in Testproblemen mit bekannter exakter L�sung getestet. Sie erwiesen sich in diesem Zusammenhang als zuverl�ssig und robust. Das heißt, daß das Verhältnis vom geschätzten Fehler zum tatsächlichen Fehler 1 bis 4 beträgt, unabhängig vom Verhältnis der Diffusionskoeffizienten und der Größe des reaktiven Terms. Jedoch wurde auch sichtbar, daß bei transienten Problemen zus�tzliche Fehler auftreten, die auch mit im Fehlersch�tzer ber�cksichtigt werden m�ssen.

**Abb. 1:** Lokale Verfeinerung bei springenden Diffusionskoeffizienten
$\ProjektEPSbildNocap {0.5\textwidth}{num00010.eps}$

Projektliteratur:

F. BORNEMANN, B. ERDMANN, R. KORNHUBER, A posteriori error estimates for elliptic problems in two and three space dimensions, SIAM J. Numer. Anal., 33 (1996), pp. 1188-1204.
R. VERFÜRTH, A posteriori error estimators for convection-diffusion equations, Numer. Math., 80 (1998), pp. 641-663.
$\dito$ , A review of a posteriori error estimation and adaptive mesh refinement techniques, in: Advances in Numerical Mathematics (H. G. Bock, W. Hackbusch, M. Luskin, R. Rannacher, Hrsg.), Wiley Teubner, Stuttgart Leipzig, 1996, pp. 1-126.