Stabilit�tswechsel in Mehrskalensystemen

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Forschungsgruppe Numerische Mathematik und Wissenschaftliches Rechnen

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Stabilit�tswechsel in Mehrskalensystemen

Bearbeiter: K. R. Schneider

Kooperation: V. F. Butuzov, N. N. Nefedov (Staatliche Universit�t Moskau)

Förderung: DFG: Kooperationsprojekt ,,Singulär gestörte Systeme und Stabilitätswechsel`` deutscher und russischer Wissenschaftler im Rahmen des Memorandum of Understanding zwischen DFG und RFFI

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Die Dynamik schneller bimolekularer Reaktionen kann unter Verwendung von singul�r gest�rten Differentialgleichungen beschrieben werden. Wir betrachten das Randwertproblem

$\begin{eqnarray} \varepsilon^2 u'' & = & g(u,v,x,\varepsilon), \ v''= f(u,v,x,\varepsilon), \ u'(0) = u'(1) =0, \ v(0) = v^0, \ v(1) =v^1,\end{eqnarray}$

das als station�res Problem des zugeh�rigen Reaktions-Diffusions-Systems aufgefa�t werden kann, und das Anfangs-Randwertproblem

$\begin{eqnarray} \varepsilon^2 u'' & = & g(u,v,x,\varepsilon), \ v'= f(u,v,x,\varepsilon), \ u'(0) = u'(1) =0, \ v(0) = v^0\end{eqnarray}$

unter der Voraussetzung, da� das assoziierte System

$\begin{displaymath} \frac{d^2 u}{d\xi^2} = g(u,v,x,0)\end{displaymath}$

zwei Familien von Gleichgewichtsl�sungen besitzt, die sich schneiden (Stabilit�tswechsel). In diesem Fall kann die Standardtheorie f�r Differentialgleichungen vom Tichonovschen Typ zur L�sung der gestellten Probleme nicht angewendet werden. Um hinreichende Bedingungen f�r die L�sbarkeit der gestellten Probleme ableiten zu k�nnen, f�hren wir den Begriff der singul�ren stabilen L�sung f�r das ausgeartete Problem $(\varepsilon = 0)$ ein. Die entsprechenden Funktionen werden unter Verwendung von Gl�ttungsverfahren zur Konstruktion von geordneten Ober- und Unterl�sungen verwendet. Mit deren Hilfe kann auf die Existenz einer L�sung bei beiden Aufgabenstellungen geschlossen und deren asymptotisches Verhalten bez�glich $\varepsilon$ bestimmt werden. Die erhaltenen Resultate k�nnen zur Untersuchung des Verhaltens von Reaktionsraten verwendet werden.

Projektliteratur:

V. F. BUTUZOV, N. N. NEFEDOV, K. R. SCHNEIDER, Singularly perturbed boundary value problems for systems of Tichonov's type in case of exchange of stabilities, WIAS-Preprint No. 408 , 1998, erscheint in: J. Differential Equations.