Entscheidungstheorie für nichtparametrische Experimente

Bearbeiter: G. Golubev, M. Nussbaum  

Kooperation: R. Khasminskii (Wayne State University, Detroit, USA), W. Härdle (Humboldt-Universität zu Berlin), V. Koltchinski (University of New Mexico, Albuquerque, USA), I. Grama (Stipendiat der Alexander von Humboldt-Stiftung, z. Z. Gießen), M. Jähnisch (Graduiertenkolleg ,,Stochastische Prozesse und Probabilistische Analysis``, Berlin)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

In der asymptotischen Theorie statistischer Experimente geht es um die Approximation allgemeiner Modelle durch einfachere; es entsteht eine Theorie, die Grundlagenprobleme der mathematischen Statistik mit Hilfe abstrakter Konzepte behandelt. Ein zentrales Thema der Forschungsgruppe in den letzten Jahren war in diesem Zusammenhang die asymptotische Äquivalenz nichtparametrischer Experimente zu Gaußschen Folgen im Sinne des Defizienzabstandes. Ein wichtiges Hilfsmittel hierbei sind Resultate über coupling von Wahrscheinlichkeitsmaßen, insbesondere die sogenannte Ungarische Konstruktion (KMT-Ungleichung). Eine spezielle funktionelle Version wurde in [1] bereitgestellt; diese ist Voraussetzung für das in [2] bewiesene Resultat über die Gaußsche Approximation eines nichtparametrischen Regressionsmodells, das aus einer parametrischen Verteilungsfamilie durch zeitliche Variation des Parameters entsteht. Eine Verallgemeinerung auf ein in Zeit und Verteilung nichtparametrisches Regressionsmodell ist die Zielstellung der Dissertationsschrift [3]. Ein Ausgangspunkt sind neue Resultate über die Ungarische Konstruktion für den (zweidimensionalen) sequentiellen empirischen Prozeß (vgl. [4]); die benötigte funktionelle Version wurde in Zusammenarbeit mit V. Koltchinski erarbeitet.

Die Resultate von [2] für ein Regressionsmodell aus unabhängigen Beobachtungen fanden eine überraschende Anwendung, indem ein Modell diskreter Beobachtungen eines Markovschen Diffusionsprozesses mit kleinem Rauschen [5] im Sinne statistischer Äquivalenz hierauf zurückgeführt werden konnte.

Ein weiteres Teilprojekt betraf inverse Probleme für partielle Differentialgleichungen, speziell die Regularisierung inverser Probleme für parabolische und elliptische Differentialgleichungen durch nichtparametrische Schätzung. Beispielsweise ist im linearen parabolischen Anfangswertproblem

$$\frac{\partial u}{\partial t}= \frac{\partial^2 u}{\partial ... ...\partial u}{\partial t}(t,0)=\frac{\partial u}{\partial t}(t,1)$$

die glatte Funktion $\theta(x)=u(0,x)$aus den Messungen $Y(t)=u(T,x)+\varepsilon n(x), \ x \in [0,1]$ zu identifizieren, wobei n(x) ein Gaußsches Rauschen ist. Für derartige inverse Randwertprobleme wurde eine neuartige Minimax-Theorie exponentieller Ordnung entwickelt. Damit im Zusammenhang steht die Entwicklung von Regularisierungsmethoden für semiparametrische Modelle. Ein wichtiger Schritt konnte mit der Behandlung des partiellen linearen Modells vollzogen werden, das weit mehr Flexibilität bietet als die parametrischen Ansätze (vgl. [7]). In diesem Modell schätzt man den unbekannten Parameter $\theta \in {\bf R}^n$ aus den beobachteten Daten $Y_i =\theta^T Z_i +m(X_i)+\xi_i$, wobei $\xi_i$ ein Gaußsches Rauschen ist. Die Hauptschwierigkeit des Modells besteht darin, daß die glatte Funktion $m(\cdot)$ unbekannt ist. Eine Minimax-Theorie zweiter Ordnung wurde für dieses Problem entwickelt, um die beste Regularisierung und die adaptive Schätzung zu finden. Semiparametrische Methoden dieser Art werden in Ökonometrie und Medizin zunehmend angewendet.

Projektliteratur:

1.  I. GRAMA, M. NUSSBAUM, A nonstandard Hungarian construction for partial sums, WIAS-Preprint No. 324 (1997).
2.  , Asymptotic equivalence of nonparametric generalized linear models, WIAS-Preprint No. 289 (1996), erscheint in: Probab. Theory Related Fields.
3.  M. JÄHNISCH, Asymptotische Äquivalenz für ein Modell unabhängiger nicht identisch verteilter Daten, Dissertationsschrift, in Vorbereitung.
4.  N. CASTELLE, F. LAURENT-BONVALOT, Strong approximations of bivariate uniform empirical processes, erscheint in: Ann. Inst. H. Poincaré, Probab. Stat.
5.  V. GENON-CATALOT, C. LARfEDO, M. NUSSBAUM, Asymptotic equivalence of density and diffusion drift estimation, in Vorbereitung.
6.   G. GOLUBEV, R. KHASMINSKII, Statistical approach to inverse boundary value problems for partial differential equations, WIAS-Preprint No. 370 (1997).
7.  G. GOLUBEV, W. HÄRDLE, On adaptive estimation in partial linear models, WIAS-Preprint No. 371 (1997).