Stabilität von Optimierungsproblemen mit nichtglatten Daten

Bearbeiter: R. Henrion  

Kooperation: W. Römisch (HU Berlin), B. M. Mordukhovich (Wayne State Univ. Detroit)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Im Fall nichtglatter Daten werden Kriterien für die Lipschitz-Stabilität von Restriktionsmengen (speziell: metrische Regularität) zunehmend mit Hilfe des approximativen Subdifferentials von Mordukhovich beschrieben. Dieses ermöglicht eine schärfere (in endlicher Dimension sogar äquivalente) Charakterisierung metrischer Regularität als die bekannten klassischen Bedingungen auf der Grundlage von Clarkes konvexwertigem Subdifferential [5]. Die sich aus dem Verzicht auf Konvexität unmittelbar ergebende Frage nach den topologischen Eigenschaften des approximativen Subdifferentials wurde detailliert in [1] untersucht. Ausgehend von bisherigen Resultaten (z. B. [6]) zur Stabilität von Wahrscheinlichkeitsrestriktionen, wurden in [2] schärfere und besser verifizierbare Kriterien bei allgemeineren Eingangsdaten aufgestellt. Für die konkrete Klasse von Wahrscheinlichkeitsrestriktionen, die durch r-konkave Maße definiert sind, konnte unter einer Voraussetzung starker Konvexität die Lösungsmengen-Hölderstetigkeit bezüglich Störungen des Maßes in der Kolmogorov-Metrik nachgewiesen werden. Monotonie-Eigenschaften der Restriktionsabbildung (wie bei Wahrscheinlichkeitsrestriktionen) lassen sich gewinnbringend für Stabilitätsanalysen ausnutzen. Diese Idee wurde in [3] systematisiert und dabei eine Äquivalenzbeziehung zwischen Clarkescher und approximativer Ko-Ableitung gefunden sowie eine Klasse nichtglatter Restriktionsmengen charakterisiert, für die sich in Analogie zum glatten Fall generische Aussagen zur globalen metrischen Regularität ableiten lassen. Die Ergebnisse der zuvor genannten Punkte sind Inhalt der Habilitationsschrift [4].

Projektliteratur:

1.   R. HENRION, Topological properties of the approximate subdifferential, J. Math. Anal. Appl., 207 (1997), pp. 345-360.
2.   R. HENRION, W. RÖMISCH, Metric regularity and quantitative stability in stochastic programs with probabilistic constraints, eingereicht bei: Math. Programming.
3.   R. HENRION, Characterization of stability for cone increasing mappings, erscheint in: Set-Valued Anal.
4.   R. HENRION, The Approximate Subdifferential and Parametric Optimization, Habilitationsschrift, Humboldt-Universität zu Berlin, 1997.
5.   B. MORDUKHOVICH, Complete characterization of openness, metric regularity, and Lipschitzian properties of multifunctions, Trans. Amer. Math. Soc., 340 (1993), pp. 1-35.
6.   W. RÖMISCH, R. SCHULTZ, Distribution sensitivity for certain classes of chance-constrained models with application to power dispatch, JOTA, 71 (1991), pp. 569-588.