Hysteresephänomene in Elastoplastizität und Phasenübergängen

Bearbeiter: P. Krejcí , M. Siegfanz , J. Sprekels  

Kooperation: M. Brokate (Christian-Albrechts-Universität zu Kiel), D. Rachinskii (Institut für Probleme der Informationsübertragung, Moskau)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Ziel dieses Projektes ist es, realistische Modelle für die Evolution von Systemen herzuleiten, in denen Nichtlinearitäten vom Hysterese-Typ auftreten. Von besonderem Interesse f�r die Anwendungen sind dabei Fragen der (Thermo-) Elastoplastizit�t und der Phasen�berg�nge.

a) In [1] wurden Stetigkeitseigenschaften der konstitutiven Operatoren des isothermen nichtlinearen Chaboche-Verfestigungsmodelles betrachtet, wobei der Spannungstensor $\,\sigma\,$ aus der plastischen Komponente $\,\sigma^p\,$ und der Verfestigungskomponente $\,\sigma^b = \sum_{k \in I} \sigma_k^b\,$ besteht, die mit der plastischen Dehnung $\,\varepsilon^p\,$ durch die Differentialgleichung

$$\dot{\sigma}_k^b\,=\,\gamma (k) \left(R\left(k\right)\dot{\v... ...p\,-\,\sigma^b_k\left\vert\dot{\varepsilon}^p\right\vert\right)$$ (1)

mit Konstanten $\,\gamma (k), R (k)\,$ verbunden ist, und wobei $\,\varepsilon^p\,$ das von Misessche Kriterium erf�llt. Das Materialgesetz wird implizit durch eine Differentialgleichung ausgedr�ckt, die den mehrdimensionalen Spiel-Operator enth�lt. Neu bewiesene Eigenschaften des Spiel-Operators erm�glichen den Nachweis, da� totale Spannung und totale Dehnung stetig bez�glich der gleichm��igen Konvergenz im Raum der stetigen Funktionen mit beschr�nkter Variation voneienander abh�ngen.

Das Mr�z-Modell unterscheidet sich von anderen Plastizit�tsmodellen durch die Eigenschaft, da� individuelle bewegliche Flie�fl�chen mit verschiedenen Radien immer ineinander eingeschlossen bleiben. F�r den kontinuierlichen Mr�zschen Spannungs-Dehnungs-Operator, der Flie�fl�chen aller Radien enth�lt (siehe Abb. 1, wo $\,\varphi (r, t)\,$ die Mittelpunktskurve bezeichnet), wurden in [2] explizite Formeln f�r den inversen Operator zusammen mit entsprechenden Energie-Ungleichungen abgeleitet. Ein Beispiel f�r die Mehrdeutigkeit der L�sungen einer Anfangswertaufgabe f�r eine einfache Differentialgleichung mit dem Mr�z-Operator zeigt u. a., da� man keine Lipschitz-Stetigkeit des Operators erwarten kann.

b) Wesentlich schwieriger als der isotherme Fall ist der Fall, in dem die Temperatur als zus�tzliche Zustandsvariable auftritt, da nicht klar ist, wie dann freie Energie, innere Energie und Entropie definiert und der Erste und Zweite Hauptsatz der Thermodynamik angewendet werden k�nnen.

In [5] war es erstmalig gelungen, f�r temperaturabh�ngige PRANDTL-ISHLINSKII-Operatoren der Form

$$\sigma\,=\,{\cal P} [\varepsilon]\,=\,\int_0^\infty \varphi (r, \theta) {\frak s}_r [\varepsilon]\,d r\,,$$ (2)

($\,\sigma =\,$ Spannung, $\,\varepsilon =\,$ Verzerrung, $\,\theta =\,$ absolute Temperatur, $\,\varphi =\,$ Dichtefunktion, $\,{\frak s}_r =\,$ elastisch-plastisches Element zur Schwelle $\,r \ge 0\,$) eine thermodynamisch konsistente Theorie der Thermoplastoelastizit�t zu entwickeln. Die grundlegende Idee beruht darauf, die in [3] ausgef�hrte Theorie der Hysteresis-Potentiale zu verallgemeinern. Freie Energie, innere Energie und Entropie ergeben sich dann als Operatoren, nicht l�nger als Funktionen, und man erh�lt eine Thermodynamik von Operatoren.

Dieses Konzept wurde in der Arbeit [6] f�r eindimensionale thermoelastoplastische Materialien mit Viskosit�t erfolgreich umgesetzt. Man erh�lt dabei Zustandsgleichungen der Form (Massedichte $\,\rho = 1\,$ gesetzt)

$$u_{tt}\,-\,\left(\gamma (u_x)\right)_x\,-\,\sigma_x\,-\,\mu\,u_{xxt}\,+\,\beta\,\theta_x\,=\,f (\theta, x, t)\,,$$ (3)

$$\left(C_V\,\theta\,+\,{\cal V}\, [u_x, \theta]\right)_t\,-\... ...\mu\,u^2_{xt}\,-\,\beta\,\theta\,u_{xt}\,+\,g (\theta, x, t)\,,$$ (4)

mit Konstanten $\mu \gt 0,\, C_V \gt 0,\, \beta\,$, wobei $\,\sigma\,$ durch (2) und $\,{\cal V}\,$ durch

$${\cal V}\, [u_x, \theta]\,=\,\frac{1}{2} \int_0^\infty \left... ..._\theta \left(r, \theta\right)\right)\,{\frak s}_r^2 [u_x]\,dr$$ (5)

gegeben sind. Es gelang in [6], Existenz und Eindeutigkeit einer L�sung $\,(u, \theta)\,$ f�r eine Anfangsrandwertaufgabe f�r dieses System zu zeigen. Die Asymptotik des Systems f�r $\, t\rightarrow \infty\,$ wurde in [10] untersucht.

c) Hystereseph�nomene sind h�ufig Begleiterscheinungen von Phasen�berg�ngen. Letztere werden gern durch Phasenfeldgleichungen (z. B. Caginalp-Modell, Penrose-Fife-Modell, siehe [3]) mathematisch modelliert, wobei die Hysteresis als Konsequenz einer Nicht-Konvexit�t der freien Energie gedeutet wird.

Im Berichtszeitraum wurde zu diesem Problemkomplex ein v�llig neuer Zugang entwickelt: Anstatt eine nichtkonvexe freie Energie anzunehmen, wurde die Hysterese nunmehr in der Form von Hysterese-Operatoren direkt in die Phasenfeldgleichungen aufgenommen. Man erh�lt dabei Systeme der Form

$$\mu\,w_t\,+\,{\cal H}_1 [w]\,+\,{\cal H}_2 [w]\,\theta\,=\,0\,,$$ (6)

$$\left(C_V\,\theta\,+\,{\cal F}_1 [w]\right)_t\,-\,\kappa\,\Delta \theta\,=\,g (\theta, x, t)\,,$$ (7)

wobei $\,{\cal H}_1\,,\, {\cal H}_2\,,\, {\cal F}_1\,$ geeignete Hysterese-Operatoren sind. Motiviert wurde dieser Zugang dadurch, da� sich Modellierungen mit Hilfe von Variationsungleichungen, wie z. B. das klassische relaxierte Stefan-Problem, auf die Form (6), (7) transformieren lassen. Dabei sorgt die vorausgesetzte Dissipativit�t der Hysterese-Operatoren $\,{\cal H}_1\,,\, {\cal H}_2\,$ (vgl. auch [3]) daf�r, da� der Zweite Hauptsatz der Thermodynamik in Form der Entropieungleichung erf�llt ist.

Es gelang im Berichtszeitraum in den Arbeiten [7, 9], die eindeutige L�sbarkeit einer Anfangsrandwertaufgabe f�r das System (6), (7) zu beweisen. Ein analoger Beweis gelang in [8] f�r das (6), (7) entsprechende Modell vom Penrose-Fife-Typ.

Der im Berichtszeitraum entwickelte neue Ansatz zur Behandlung von Phasenfeldsystemen ist sehr erfolgversprechend und soll im Jahre 1998 verst�rkt untersucht werden.

Projektliteratur:

1. M. BROKATE, P. KREJCí, Maximum norm wellposedness of nonlinear kinematic hardening models, Cont. Mech. Thermodyn., 9 (1997), pp. 365-380.
2. M. BROKATE, P. KREJCí, D. RACHINSKII, Some analytical properties of the multidimensional continuous Mr�z model of plasticity, WIAS-Preprint No. 391 (1998) , erscheint in: Control & Cybernetics.
3. M. BROKATE, J. SPREKELS, Hysteresis and Phase Transitions, Appl. Math. Sci., Vol. 121, Springer-Verlag, New York 1996.
4. P. KREJCí, Hysteresis, Convexity and Dissipation in Hyperbolic Equations, Gakuto Int. Series, Vol. 8, Gakk$\bar{\rm o}$tosho, Tokyo 1996.
5. P. KREJCí, J. SPREKELS, On a system of nonlinear PDEs with temperature-dependent hysteresis in one-dimensional thermoplasticity, J. Math. Anal. Appl., 209 (1997), pp. 25-46.
6. P. KREJCí, J. SPREKELS, Temperature-dependent hysteresis in one-dimensional thermovisco-elastoplasticity, WIAS-Preprint No. 344 (1997) , erscheint in: Appl. Math.
7. P. KREJCí, J. SPREKELS, A hysteresis approach to phase-field models, WIAS-Preprint No. 364 (1997) , erscheint in: Nonlin. Anal. TMA.
8. P. KREJCí, J. SPREKELS, Hysteresis operators in phase-field models of Penrose-Fife type, WIAS-Preprint No. 390 (1998) , erscheint in: Appl. Math.
9. P. KREJCí, J. SPREKELS, Hysteresis operators in phase-field models, erscheint in: Progress in Nonlinear Partial Differential Equations and their Applications, Birkh�user Verlag, Basel 1998.
10. P. KREJCí, J. SPREKELS, Weak stabilization of solutions to PDEs with hysteresis in thermovisco-elastoplasticity, erscheint in: Proceedings of EQUADIFF 9, 1997.