Dynamische stochastische Algorithmen

Bearbeiter: P. Mathé, A. Mader 

Kooperation: H. Babovsky (TU Ilmenau)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Bei der numerischen Simulation praxisrelevanter Probleme der Gasdynamik stoßen deterministische Verfahren auf große Probleme. Diese in der Komplexität nichtlinearer kinetischer Gleichungen begründeten Schwierigkeiten werden durch stochastische Partikelmethoden umgangen (siehe z. B. [1]). Solche Algorithmen sind für Evolutionsprobleme in den letzten Jahren untersucht und mathematisch dadurch gerechtfertigt worden, daß für sie geeignete Gesetze der großen Zahlen hergeleitet wurden (siehe z. B. [2]). Für stationäre Probleme werden derzeit verschiedene Ansätze verfolgt (siehe z. B. [3]). Bisher konnten die oft auftretenden systematischen Defekte nicht beseitigt werden. Die Ergebnisse aus [4] sollen durch Testreihen weiter untermauert werden. Dazu wurde die Entwicklung eines Programmes begonnen, mit dem die Teilchenbewegungen zwischen zwei eng beieinanderliegenden Platten simuliert werden. Derzeit werden für dieses Programm noch geeignete Parameter getestet. An einer Visualisierung mittels OpenGL und den gltools wird ebenfalls gearbeitet.

Nach Berechnungen zur stationären Boltzmanngleichung in einem einfachen Urnenmodell wurden zunächst Untersuchungen an einfachen Mehrgeschwindigkeitsmodellen vorgenommen. Parallel dazu wird ein Programm zur Simulation dieser Modelle entwickelt. Nach ersten Tests sollen der Wechsel zu komplizierteren Modellen und eine geeignete Visualisierung eingearbeitet werden.

Angeregt durch einen Arbeitsaufenthalt bei der Arbeitsgruppe Technomathematik der Universität Kaiserslautern ist geplant, die Simulationen für verteilte Berechnungen zu programmieren. Ausgangspunkt dafür sind die seit Beginn der Arbeit an den Codes benutzte Listentechnik und die in [5] beschriebenen Parallelisierungsschemata. Portabilität und die spätere Pflege sollen durch Angleichung an die aktuellen C++-Standards erleichert werden.

Für komplexe Optimierungsprobleme, die mit den Verfahren der klassischen Numerik nicht behandelt werden können, gibt es verschiedene Möglichkeiten, durch Einführen zufälliger Parameter akzeptable Näherungslösungen zu erhalten. Einen vielversprechenden Ansatz beinhaltet das Konzept des Simulated Annealing, vgl. [8].

Bei der Anwendung von Simulated Annealing gilt es, zwei Parameter geeignet zu steuern:

• die Geschwindigkeit der Abkühlung,
• die Relaxationszeit der Metropolisschritte.

In [7] wird dieses Ergebnis ausgenutzt, um für Metropolis-Ketten einen ähnlichen Effekt nachzuweisen, falls die zugehörige Energiefunktion in niederdimensionale Anteile zerfällt.

Zukünftige Untersuchungen sollen darauf gerichtet sein, derartige Resultate für das Verhalten inhomogener Markov-Ketten nachzuweisen. Gleichzeitig soll die Effizienz von Simulated Annealing an praktischen Problemen, insbesondere dynamischen Systemen untersucht werden.

Projektliteratur:

1. C. CERCIGNANI, Mathematical models in rarefied gas dynamics, Surv. Math. Ind., 1 (1991), pp. 119-153.

2. H. BABOVSKY, A convergence proof for Nanbu's simulation method for the full Boltzmann equation, SIAM J. Numer. Anal., 26 (1989), pp. 45-65.

3. A. V. BOBYLEV, J. STRUCKMEIER, Numerical simulation of the stationary one-dimensional Boltzmann equation by particle methods, Bericht der Arbeitsgruppe Technomathematik (Forschung) 128, FB Mathematik, Universität Kaiserslautern, 1995.

4. H. BABOVSKY Simulation of kinetic boundary layers, WIAS-Preprint No. 140, Berlin 1995.

5. S. DIETRICH, I. D. BOYD, Scalar and parallel optimized implementation of the Direct Simulation Monte Carlo method, J. Comp. Phys., 126 (1996), pp. 328-342.

6. P. MATHÉ, Efficient mixing of product walks on product groups, WIAS-Preprint No. 284, Berlin 1996.

7. P. MATHÉ, Relaxation of product Markov chains on product spaces, Manuskript, Dezember 1996.

8. G. WINKLER, Image Analysis, Random Fields and Dynamic Monte Carlo Methods, Appl. Math., Vol. 27, Springer, Berlin, Heidelberg, 1995.