Bearbeiter: R. Hünlich
Kooperation: R. Model, M. Orlt, M. Walzel, Physikalisch-Technische Bundesanstalt Berlin-Charlottenburg (PTB)
Förderung: Unterauftrag zum BMBF-Projekt ,,Mathematische Behandlung der Streulichttomographie von dicken Gewebeschichten und von Phantomen`` an der PTB
Beschreibung der Forschungsarbeit:
Ziel der Untersuchungen in [4] war es, die im Rahmen eines
BMBF-Projektes entwickelten Verfahren zur Bildrekonstruktion in der
optischen Tomographie, die auf zeitaufgelösten Messungen
beruhen (siehe [3]), an dem Standarddatensatz
der Universität von Pennsylvania [1] zu testen. Dieser
Datensatz bezieht sich auf ein (nahezu) unendlich ausgedehntes Medium
mit konstanter Lichtgeschwindigkeit c und konstantem Streu- bzw.
Absorptionskoeffizienten 
bzw. 
, in das eine kleine
Kugel mit erhöhtem Absorptionskoeffizienten 
,
, eingebettet ist. Verwendet werden 12
Lichtquellen mit jeweils 10 Detektoren, die in einer Ebene
kreisförmig angeordnet sind (vgl. Abb. 1). Aus den an den Detektoren
festgestellten Laufzeitverteilungen ist die Lage und Größe des
Absorbers zu rekonstruieren.
Dieses inverse Problem
beruht auf dem Diffusionsmodell der Streulichtausbreitung
[2] und führt hier auf folgende Gleichungen
für die Photonendichte 
:
wobei
ist. Zunächst wird
diese
Aufgabe mit einem 2D-FEM-Code gelöst.
Da für ein homogenes Medium (
) die
Lösung 
analytisch gegeben ist,
wird
gesetzt und
die entsprechende Aufgabe für 
auf einem endlichen,
aber so großen Gebiet, daß auf seinem Rand
gesetzt werden kann, numerisch gelöst.
Durch diesen Störungsansatz kann
schnell und mit hoher Genauigkeit berechnet werden.
Versuche, damit den Absorber zu rekonstruieren, führten wegen der
vorliegenden 3D-Situation zu keinem befriedigenden Ergebnis.
Als einfache Näherung der 3D-Lösung wurde dann der Ausdruck
gewählt. Es zeigte sich, daß damit die Lage des Absorbers
(bei allen Absorberwerten 
) gut
wiedergefunden werden konnte, während beim Radius und beim
Absorptionskoeffizienten deutlichere Abweichungen auftraten.
Die Abb. 2 zeigt einen Vergleich der vorgegebenen Daten mit den
nach der Identifikation
simulierten Laufzeitverteilungen. Tabelle 1 gibt einen Überblick
über einige Ergebnisse, die zugleich zeigen, daß für eine
erfolgreiche Rekonstruktion der Lage des Absorbers auch ein Teil
des vollständigen Datensatzes (nur 2, 3, 4, 6 Quellen) ausreicht.
Zur Zeit wird untersucht, ob diese Aussage gültig bleibt, wenn die
Daten mit einem größeren Rauschen behaftet sind.
Projektliteratur: