Bearbeiter: K. Fleischmann
Förderung: DFG
Kooperation: D. A. Dawson (Carleton University Ottawa), G. Leduc (Université du Québec à Montréal), J.-F. LeGall (Université Pierre et Marie Curie, Paris), Y. Li und C. Mueller (University of Rochester)
Beschreibung der Forschungsarbeit:
Das Studium katalytischer Verzweigungsstrukturen ist durch zwei verschiedene Gesichtspunkte motiviert. Auf mikroskopischer Ebene ist es oft so, daß chemische Reaktionen zwischen Molekülen nur dann stattfinden können, wenn ein Katalysator anwesend ist. Makroskopisch werden chemische Reaktionen durch Reaktions-Diffusions-Gleichungen beschrieben, wobei die Katalysatoren als räumlich heterogene Ratenfunktionen (Reaktionskoeffizienten) erscheinen. Hierbei treten mitunter die Katalysatoren nur in gewissen lokalisierten Zonen auf, wie in fadenartigen Netzwerken, auf Oberflächen kugelartiger Gebilde oder in porösen Medien.
In der mathematischen Literatur wurden solche Reaktions-Diffusions-Gleichungen vorrangig mit Methoden der partiellen Differentialgleichungen untersucht, wobei die Reaktions-Raten-Funktionen als mehr oder weniger wohlverhaltend auf gewissen Oberflächen oder Teilmengen angenommen wurden (Bramson und Neuhauser, Chadam und Yin, Chan und Fung, Durrett und Swindle). Andererseits gibt es biologische Reaktionen (z. B. Glykolyse), bei denen Enzyme auf fadenförmigen Netzwerken angeordnet sind und als Katalysatoren wirken (Pagliaro und Taylor). Hier handelt es sich mehr um ein irreguläres, fraktal-ähnliches katalytisches Medium.
Unser Zugang besteht darin, Reaktionsraten durch maßwertige stochastische Prozesse zu beschreiben. Hieraus ergeben sich eine ganze Reihe von Konstruktionsfragen, da einerseits die Reaktionsraten irreguläre Situationen erfassen sollen, wie gerade beschrieben, aber anderseits noch mathematisch handhabbar sein müssen.
Es gibt einen engen Zusammenhang zwischen einer speziellen Klasse von quasi-linearen Reaktions-Diffusions-Gleichungen mit regulären Reaktionskoeffizienten und Verzweigungs-Teilchen-Systemen bzw. Superprozessen. Beispielsweise haben Dynkin und Kuznetsov sowie LeGall diese Beziehung genutzt, um Fragen behebbarer Singularitäten dieser Gleichungen zu studieren, während Gorostiza und Wakolbinger auf solchem Wege das Langzeitverhalten von Lösungen von Systemen von Reaktions-Diffusions-Gleichungen untersucht haben.
Ein ähnlicher Zusammenhang besteht zwischen katalytischen Verzweigungsstrukturen und katalytischen Reaktions-Diffusions-Gleichungen, der zu einem wahrscheinlichkeitstheoretischen Zugang zum Studium dieser Gleichungen führen kann. Zusätzlich bietet die Beschreibung durch Verzweigungs-Teilchen-Systeme die Möglichkeit einer Behandlung auf `mikroskopischer' Ebene und ist überdies von selbständigem mathematischen Interesse.
Im Berichtszeitraum ist es gelungen, eine stetige Super-Brownsche Bewegung in einem Super-Brownschen Medium zu konstruieren, s. [1]. Hier bilden nicht nur die reagierenden Substanzen (`Populationen') eine räumliche Verzweigungsstruktur, sondern auch die Katalysatoren, die gerade die Reaktionen der Substanzen ermöglichen. Hierfür war es notwendig, das von Barlow, Evans und Perkins entwickelte Konzept von Brownschen Kollisions-Lokalzeiten der Super-Brownschen Bewegung für den Fall unendlicher Maße zu verallgemeinern.
Eine andere Aktivität bestand darin, eine Super-Brownsche Bewegung in einem lokal-unendlichen katalytischen Medium zu konstruieren, s. [2], die durch Dynkin's bisher allgemeinste Klasse von räumlichen Verzweigungsstrukturen nicht erfaßt ist. Die hohe Konzentration katalytischer Masse führt dazu, daß die sich verzweigenden Populationen bereits vor dem Erreichen des katalytischen Zentrums eliminiert werden. Somit wurde zugleich ein für kritische Verzweigungsprozesse neuartiger Effekt nachgewiesen.
Projektliteratur: