Bearbeiter: K. Fleischmann
Kooperation: J. Th. Cox (Syracuse University), S. N. Evans (University of California at Berkeley), A. Greven (Universität Erlangen-Nürnberg)
Beschreibung der Forschungsarbeit:
Die Herausbildung zufälliger Cluster ist ein Phänomen, das in vielen angewandten Gebieten beobachtet werden kann. Sie wird in der Regel durch zwei Effekte verursacht: Zum einen durch eine lokale Tendenz zur Angleichung, zum anderen durch verrauschte Transporteffekte, die der Clusterbildung sowohl entgegen wirken, als auch sie verstärken können und schließlich globale Übereinstimmungen ermöglichen. Es besteht ein großes Interesse, Einzelheiten dieser Mechanismen zu verstehen und dahinter liegende Grundprinzipien aufzuzeigen.
Aus angewandter Sicht kommen Impulse hierzu vor allem aus der Populationsgenetik. Typischerweise hat man hier Kolonien von Individuen verschiedener Genotypen, die einem ,,zufälligen Durchmischen`` (Resampling) innerhalb der Kolonien und einer Migration zwischen den Kolonien unterworfen sind. Eine mathematische Modellierung ist mit wechselwirkenden Diffusionen möglich. Dies ist eine reiche Klasse von Modellen, die sich bereits bewährt hat.
Aufbauend von Ergebnissen von Arratia über das
eindimensionale Votermodell, von Sawyer über das
Stepping-Stone-Modell, und Klenke über hierarchisch
wechselwirkende Diffusionen, wurde ein neues mathematisches Modell
entwickelt, s. [1], in welchem Clusterbildungseffekte mehr
`innerhalb des Modells' beschrieben werden können. Üblicherweise
(insbesondere in den genannten Quellen) ist die Indexmenge (Phasenraum) eine
abzählbare Menge (z. B. 
). Um Cluster zu erfassen, muß man
skalieren, und man verläßt den anfänglichen Rahmen einer
abzählbaren Menge. Wir arbeiten daher von vorn herein mit einem
hierarchischen `Kontinuum'-Modell,
das den Fragestellungen mehr angepaßt
ist. Die damit notwendigen Konstruktionsfragen wurden erfolgreich gelöst.
Die Clusterformierung im subkritischen Regime wird jetzt mehr unmittelbar
durch analytische Hilfsmittel beschrieben und führt schließlich zu
einem vertieften Verständnis der Problematik.
Projektliteratur: