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Clusterbildungseffekte wechselwirkender Diffusionen

Bearbeiter: K. Fleischmann

Kooperation: J. Th. Cox (Syracuse University), S. N. Evans (University of California at Berkeley), A. Greven (Universität Erlangen-Nürnberg)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Die Herausbildung zufälliger Cluster ist ein Phänomen, das in vielen angewandten Gebieten beobachtet werden kann. Sie wird in der Regel durch zwei Effekte verursacht: Zum einen durch eine lokale Tendenz zur Angleichung, zum anderen durch verrauschte Transporteffekte, die der Clusterbildung sowohl entgegen wirken, als auch sie verstärken können und schließlich globale Übereinstimmungen ermöglichen. Es besteht ein großes Interesse, Einzelheiten dieser Mechanismen zu verstehen und dahinter liegende Grundprinzipien aufzuzeigen.

Aus angewandter Sicht kommen Impulse hierzu vor allem aus der Populationsgenetik. Typischerweise hat man hier Kolonien von Individuen verschiedener Genotypen, die einem ,,zufälligen Durchmischen`` (Resampling) innerhalb der Kolonien und einer Migration zwischen den Kolonien unterworfen sind. Eine mathematische Modellierung ist mit wechselwirkenden Diffusionen möglich. Dies ist eine reiche Klasse von Modellen, die sich bereits bewährt hat.

Aufbauend von Ergebnissen von Arratia über das eindimensionale Votermodell, von Sawyer über das Stepping-Stone-Modell, und Klenke über hierarchisch wechselwirkende Diffusionen, wurde ein neues mathematisches Modell entwickelt, s. [1], in welchem Clusterbildungseffekte mehr `innerhalb des Modells' beschrieben werden können. Üblicherweise (insbesondere in den genannten Quellen) ist die Indexmenge (Phasenraum) eine abzählbare Menge (z. B. ). Um Cluster zu erfassen, muß man skalieren, und man verläßt den anfänglichen Rahmen einer abzählbaren Menge. Wir arbeiten daher von vorn herein mit einem hierarchischen `Kontinuum'-Modell, das den Fragestellungen mehr angepaßt ist. Die damit notwendigen Konstruktionsfragen wurden erfolgreich gelöst. Die Clusterformierung im subkritischen Regime wird jetzt mehr unmittelbar durch analytische Hilfsmittel beschrieben und führt schließlich zu einem vertieften Verständnis der Problematik.

Projektliteratur:

  1. S. N. EVANS, K. FLEISCHMANN, Cluster formation in a stepping stone model with continuous, hierarchically structured sites, WIAS-Preprint No. 187 (1995), erscheint in: Ann. Probab. (1996)


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Mon May 13 20:25:53 MET DST 1996