Bearbeiter: A. Bovier
Förderung: EU, CHRX-CT93-0411
Kooperation: V. Gayrard (CPT-Marseille), P. Picco (CPT-Marseille)
Beschreibung der Forschungsarbeit:
Eine ausführliche Darstellung der Fragestellungen, denen wir uns in diesem
Projekt widmen, wurde im Jahresbericht 1994 gegeben. Im diesem Jahr wurden eine
Reihe von wichtigen neuen Resultaten erzielt. So wurde in der
Arbeit [1] unter schwächstmöglichen Voraussetzungen ein Prinzip
großer Abweichungen für die Verteilung der (unendlich vielen)
Ordnungsparameter im Hopfield Modell bewiesen. Dies bedeutet, daß
ein perfektes thermodynamisches Verhalten mit deterministischen
thermodynamischen Potentialen für dieses ungeordnete Modell mit
unendlich vielen relevanten Ordnungsparametern vorliegt.
In der Praxis noch relevantere Resultate wurden in [2] für den
Fall, daß die Zahl der ,,pattern`` proportional zur Systemgröße
skaliert, gezeigt. Hier wurden alle wesentlichen heuristischen Erwartungen
bezüglich des Verhaltens des Modells für kleine
Proportionalitätsfaktoren mathematisch rigoros bewiesen.
Dabei wurden Methoden zur Analyse komplizierter Zufallsfunktionen
unbeschränkt vieler Variablen entwickelt, die auch in anderen Fragen
der statistischen Mechanik ungeordneter Systeme von Nutzen sein werden.
Die schon im Vorjahr begonnene Untersuchung von Varianten des Hopfield Modells mit lang, aber endlich reichweitiger Wechselwirkung (,,Kac-Hopfield Modell``) [3], wurde ebenfalls intensiv weiter betrieben. Insbesondere geht es uns nunmehr darum, diese Modelle auf mesoskopischer Ebene zu charakterisieren. Das heißt, wir betrachten lokale Ordnungsparameter und untersuchen deren Verteilung unter dem Gibbs Maß bei geeigneter Skalierung. Dabei ergibt sich asymptotisch eine Beschreibung durch eine Ginzburg-Landau-artige Feldtheorie, wobei das entsprechende Funktional aber noch zufällig ist. Technisch ist die Kontrolle der Approximationsfehler hier äußerst aufwendig. Die Untersuchung des eindimensionalen Falles steht zur Zeit vor dem Abschluß [4]. Im höherdimensionalen Fall sind noch erhebliche Schwierigkeiten zu überwinden, was wohl noch geraume Zeit in Anspruch nehmen wird.
Projektliteratur: