Bearbeiter: K. R. Schneider
Kooperation: A. B. Vasil'eva (Staatliche Universität Moskau)
Beschreibung der Forschungsarbeit:
Bei der Beschreibung von Strukturbildungsprozessen spielen Reaktions-Diffusions-Konvektionsgleichungen eine grundlegende Rolle. Wir untersuchen die Existenz stationärer Lösungen vom Spike-Typ für Systeme von parabolischen Differentialgleichungen mit kleiner Diffusion und Konvektion. Diese Aufgabe führt auf die Untersuchung singulär gestörter Differentialgleichungssysteme. Ohne Berücksichtigung der Konvektion liegen für skalare Gleichungen mit kleiner Diffusion und für Systeme von zwei gekoppelten Gleichungen mit kleiner Diffusion eine Reihe von Existenzaussagen vor. Um die Existenz von Spike-Lösungen auch in Gegenwart einer kleinen Konvektion zeigen zu können, kombinieren wir in der vorliegenden Arbeit zwei Methoden der Theorie singulärer Störungen: die Theorie der invarianten Mannigfaltigkeiten und die Methode der Randschichtfunktionen. Unter den getroffenen Voraussetzungen kann das Problem der Existenz von Spike-Lösungen für gewisse Klassen von Systemen parabolischer Gleichungen mit kleiner Diffusion und Konvektion unter Verwendung invarianter Mannigfaltigkeiten auf das Problem der Existenz von Spike-Lösungen für eine skalare parabolische Differentialgleichung zweiter Ordnung mit kleiner Diffusion und Konvektion zurückgeführt werden. Unter einigen zusätzlichen Annahmen über die Abhängigkeit der Nichtlinearität von der Konvektion erweitern wir die Methode der Randschichtfunktionen, um die Existenz von Spike-Lösungen beweisen zu können. Als Anwendungsbeispiel betrachten wir die Belousov-Zhabotinskii-Reaktion.
Projektliteratur: