Lokale Existenz und Einzigkeit von Lösungen nichtglatter parabolischer Systeme zweiter Ordnung

Bearbeiter: K. Gröger, J. Rehberg

Kooperation: M. Böhm, Humboldt-Universität zu Berlin

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Es wurden Untersuchungen zur Existenz und Einzigkeit für Lösungen von quasilinearen parabolischen Systemen des Typs

durchgeführt. Die sind lineare Differentialoperatoren zweiter Ordnung mit entsprechenden Randbedingungen, deren Koeffizienten wiederum von der Lösung abhängen. Die Operatoren 's sind den in gewissem Sinne untergeordnet und können sehr unterschiedlicher Natur sein; u.a. sind die Driftstrom-Terme sowohl der Halbleiter- wie der Chemotaxisgleichungen zugelassen. Das Bestreben besteht nun gerade darin, für eine sehr große Klasse von Gleichungen, darunter solche wie die Chemotaxis-Gleichungen, für die keine a-priori-Energieabschätzungen existieren, eine möglichst allgemeine, lokale Lösungstheorie bereitzustellen. Das Hauptproblem dabei ist, daß man -- über bekannte Ergebnisse hinaus -- mit Konstellationen konfrontiert ist, die sowohl starke Nichtlinearitäten aufweisen als auch sehr ,,unglatt`` sind. Dies betrifft einerseits die Geometrie der Gebiete und die Tatsache, daß der Typ der Randbedingung wechselt, wie auch die Eigenschaft der Koeffizienten, definitiv unstetig zu sein. Das Konzept der Behandlung dieser Gleichungen besteht darin, sie im Rahmen von -Räumen anzuschauen und zwar dergestalt in p und q, daß diese Räume stetige Einbettungen in (raum-zeitliche) Hölder-Räume zulassen. Über einer Kugel in wird dann ein geeignetes, kontraktives Iterationsschema definiert, das die zeitlich lokale Existenz und Einzigkeit sichert. Anzumerken ist noch, daß das hier verfolgte Vorgehen in voller Allgemeinheit nur für die Raumdimension zwei funktioniert, im Falle höherer Raumdimension müssen bestimmte Kleinheitsforderungen gestellt werden, die nicht stets erfüllt sind.

Projektliteratur:

1. H. AMANN, Quasilinear evolution equations and parabolic systems, Trans. Amer. Math. Soc. 293 (1986), 191--227.
2. --------, Dynamic theory of quasilinear parabolic equations -- II, Reaction-diffusion systems, Diff. Int. Equ. 3 (1990), 13--75.
3. G. DORE, Regularity for Abstract Differential Equations, LNM 1540 (1991), 25--38.
4. M. GIAQUINTA AND G. MODICA, Local existence for quasilinear parabolic systems under nonlinear boundary conditions, Ann. Mat. Pura Appl. 149 (1987), 41--59.
5. K. GRÖGER, A -estimate for solutions to mixed boundary value problems for second order elliptic differential equations, Math. Ann. 283 (1989), 679--687.
6. --------, -estimates of solutions to evolution equations corresponding to nonsmooth second order elliptic differential operators, Nonlinear Analysis 18 (1992), 569--577.
7. K. GRÖGER, J. REHBERG, Resolvent estimates in for second order elliptic differential operators in case of mixed boundary conditions, Math. Ann. 285 (1989), 105--113.
8. W. JÄGER, ST. LUCKHAUS, On explosions of solutions to a system of partial differential equations modelling chemotaxis, Trans. Amer. Math. Soc. 329 (1992), 819--824.