Bearbeiter: K. Gröger, J. Rehberg
Kooperation: M. Böhm, Humboldt-Universität zu Berlin
Beschreibung der Forschungsarbeit:
Es wurden Untersuchungen zur Existenz und Einzigkeit für Lösungen von quasilinearen parabolischen Systemen des Typs
durchgeführt.
Die
sind lineare Differentialoperatoren zweiter Ordnung mit
entsprechenden Randbedingungen, deren Koeffizienten wiederum von der Lösung
abhängen.
Die Operatoren
's sind den
in gewissem Sinne untergeordnet und
können sehr unterschiedlicher Natur sein; u.a. sind die Driftstrom-Terme
sowohl der Halbleiter- wie der Chemotaxisgleichungen zugelassen.
Das Bestreben besteht nun gerade darin, für eine sehr große Klasse von
Gleichungen, darunter solche wie die Chemotaxis-Gleichungen, für die keine
a-priori-Energieabschätzungen existieren, eine möglichst allgemeine, lokale
Lösungstheorie bereitzustellen. Das Hauptproblem dabei ist, daß man
-- über
bekannte Ergebnisse hinaus -- mit Konstellationen konfrontiert ist, die sowohl
starke Nichtlinearitäten aufweisen als auch sehr ,,unglatt`` sind. Dies
betrifft
einerseits die Geometrie der Gebiete und die Tatsache, daß der Typ der
Randbedingung wechselt, wie auch die Eigenschaft der Koeffizienten, definitiv
unstetig zu sein. Das Konzept der Behandlung dieser Gleichungen besteht darin,
sie im Rahmen von
-Räumen anzuschauen
und zwar dergestalt in p und q, daß diese Räume stetige Einbettungen in
(raum-zeitliche) Hölder-Räume zulassen. Über einer Kugel in
wird dann ein
geeignetes, kontraktives Iterationsschema definiert, das die zeitlich lokale
Existenz und Einzigkeit sichert.
Anzumerken ist noch, daß das hier verfolgte Vorgehen in voller Allgemeinheit
nur für die Raumdimension zwei funktioniert, im Falle höherer Raumdimension
müssen bestimmte Kleinheitsforderungen gestellt werden, die nicht stets
erfüllt sind.
Projektliteratur: