Temperaturberechnung in Halbleiterbauelementen

Bearbeiter: G. Albinus

Kooperation: G. Wachutka, Lehrstuhl für technische Elektrophysik, TU München;

K. Gärtner, Institut für Integrierte Systeme, Eidgenössische Technische Hochschule Zürich;

B. Heinemann, Institut für Halbleiterphysik, Frankfurt/Oder;

U. Todt, Fraunhofer-Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme, Dresden

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Ziel des Projektes ist die selbstkonsistente Temperaturberechnung in Halbleiterbauelementen auf der Grundlage phänomenologischer Energiemodelle. Solche Modelle werden durch ein System von vier partiellen Differentialgleichungen beschrieben. Das System besteht aus der Poissongleichung für das elektrostatische Potential und aus drei Transportgleichungen für den Elektronen- und Löchertransport sowie für die Wärmeleitung. Auf Grund der Zustands- und Stromgleichungen ist das System ausgeprägt nichtlinear. Erfahrungen mit dem Drift-Diffusionsmodell und auch mit dem Energiemodell zeigen, daß die Berücksichtigung der thermodynamischen Struktur der Prozesse von großer praktischer Bedeutung für die numerische Simulation ist. Unter diesem Gesichtspunkt ist der Übergang vom Drift-Diffusionsmodell zum Energiemodell eine wesentliche Veränderung, die sich keineswegs in dem quantitativen Aspekt einer zusätzlichen parabolischen Gleichung erschöpft.

In dem Berichtszeitraum wurde diese Struktur untersucht und beschrieben. Es zeigt sich dabei, daß

• erwartungsgemäß die Dichten der Elektronen, der Löcher und der Gesamtenergie zu bilanzieren sind,
• die Ströme der betreffenden Größen mit den Gradienten von , und beschrieben werden sollten, wenn die elektrochemischen Potentiale der Elektronen und der Löcher bezeichnet und T die Temperatur ist,
• die Aufgaben in der kontinuierlichen Beschreibung mit partiellen Differentialgleichungen, in der zeitlichen Diskretisierung, in der räumlichen Diskretisierung mittels Boxmethode und in der zeitlichen und räumlichen Diskretisierung ein und dieselbe Struktur aufweisen,
• diese Struktur eine physikalisch motivierte mathematische Stabilität der Aufgabenstellung sichert, die in der Konstruktion einer Ljapunovfunktion zum Ausdruck kommt, die auf dem thermodynamischen Potential der Entropie und auf dessen konjugiertem Potential beruht.

Diese Ergebnisse sind in der bisherigen Simulationspraxis nicht berücksichtigt und werfen auch Fragen auf, die in Zusammenarbeit mit Fachleuten der irreversiblen Thermodynamik zu besprechen sind. Außerdem sollten die Ergebnisse über den Rahmen der Halbleitergleichungen hinaus überall dort von Interesse sein, wo eine nicht-lokale Wechselwirkung wie die elektrostatische auftritt und die Temperatur oder eine äquivalente Zustandsgröße eine dynamische Variable ist.

Projektliteratur:

1. G. ALBINUS, Numerical Simulation of the Carrier Transport in Semiconductor Devices on the Base of an Energy Model., in Mathematical Modeling and Simulation of Electrical Circuits and Semiconductor Devices (Eds R. E. Bank, R. Burlisch, H. Gajewski, and K. Mertens), Birkhäuser, Basel 1994, 157--169.
2. --------, Über ein Energiemodell des Ladungsträgertransports in Halbleitern, Z. Angew. Math. Mech. 74 (1993), 6, T623--T624.
3. --------, Thermodynamics of Energy Models of Semiconductor Devices, ICIAM 95, Hamburg 1995, submitted to Z. Angew. Math. Mech., Special Issue 2
4. --------, A thermodynamically motivated Formulation of the Energy Model of Semiconductor Devices, WIAS-Preprint No. 210, Berlin 1995.
5. H. GAJEWSKI, Analysis und Numerik des Ladungsträgertransports in Halbleitern, GAMM Mitt. 16 (1993) 1, pp. 35--57.
6. H. GAJEWSKI, K. GÄRTNER, On the discretization of van Roosbroeck's equations with magnetic field, Technical Report 94/14, Integrated Systems Laboratory, ETH Zurich, 1994.
7. H. GAJEWSKI, K. GRÖGER, Semiconductor equations for variable mobilities based on Boltzmann statistics or Fermi-Dirac statistics, Math. Nachr. 140 (1989), 7--36.
8. G. WACHUTKA, Rigorous thermodynamic treatment of heat generation and conduction in semiconductor device modelling, IEEE Trans. CAD 9 (1990),1141--9.