Bearbeiter: U. Bellack
Kooperation: H. G. Bothe
Beschreibung der Forschungsarbeit:
Bei vielen Ergebnissen �ber dynamische Systeme auf Mannigfaltigkeiten
spielt Hyperbolizit�t eine Schl�sselrolle. Bedeutende Theoreme wie das
�ber die Spektralzerlegung in Basismengen von S. Smale oder die
Existenz von Markov-Zerlegungen (R. Bowen) setzen voraus, da� der
betrachtete Diffeomorphismus zumindest auf der f�r die Langzeitdynamik
relevanten Menge der nichtwandernden Punkte (
-Menge)
gleichm��ig hyperbolisch ist. Viele interessante Systeme erf�llen
diese Voraussetzung jedoch nicht, und so gehen die Bem�hungen dahin,
f�r allgemeinere Systeme eine Strukturtheorie zu entwickeln. (Siehe
hierzu die Arbeit [2] von T. Kr�ger und S. Troubetzkoy �ber
Markov-Zerlegungen bei nicht gleichm��ig hyperbolischen Systemen.)
In unserem Projekt wird die Bifurkation eines wohlbekannten hyperbolischen Attraktors (Solenoid) untersucht, bei der die Hyperbolizit�t verlorengeht. Gleichwohl kann gezeigt werden, da� die hierbei entstehenden Attraktoren topologisch transitiv sind und die periodischen Punkte in ihnen dicht liegen. In Analogie zum Sinai-Ruelle-Bowen-Ma� auf dem Solenoid existieren nach der Bifurkation dynamisch definierte Ma�e, die die Dynamik fast aller Punkte aus dem Einzugsbereich beschreiben. Unter gewissen Voraussetzungen sind diese Ma�e f�r ein Teilintervall des Bifurkationsparameters auf einem Solenoid konzentriert, obwohl das in den neuen Attraktoren nirgends dicht liegt.
Ziel der weiteren Arbeit ist es, einerseits bisher notwendige Voraussetzungen abzuschw�chen und andererseits die Situation nach der Bifurkation durch weitere dynamische Gr��en (Lyapunov-Exponenten, Entropie) zu beschreiben.
Projektliteratur: