Bearbeiter: U. Bellack
Kooperation: H. G. Bothe
Beschreibung der Forschungsarbeit:
Bei vielen Ergebnissen über dynamische Systeme auf Mannigfaltigkeiten
spielt Hyperbolizität eine Schlüsselrolle. Bedeutende Theoreme wie das
über die Spektralzerlegung in Basismengen von S. Smale oder die
Existenz von Markov-Zerlegungen (R. Bowen) setzen voraus, daß der
betrachtete Diffeomorphismus zumindest auf der für die Langzeitdynamik
relevanten Menge der nichtwandernden Punkte (
-Menge)
gleichmäßig hyperbolisch ist. Viele interessante Systeme erfüllen
diese Voraussetzung jedoch nicht, und so gehen die Bemühungen dahin,
für allgemeinere Systeme eine Strukturtheorie zu entwickeln. (Siehe
hierzu die Arbeit [2] von T. Krüger und S. Troubetzkoy über
Markov-Zerlegungen bei nicht gleichmäßig hyperbolischen Systemen.)
In unserem Projekt wird die Bifurkation eines wohlbekannten hyperbolischen Attraktors (Solenoid) untersucht, bei der die Hyperbolizität verlorengeht. Gleichwohl kann gezeigt werden, daß die hierbei entstehenden Attraktoren topologisch transitiv sind und die periodischen Punkte in ihnen dicht liegen. In Analogie zum Sinai-Ruelle-Bowen-Maß auf dem Solenoid existieren nach der Bifurkation dynamisch definierte Maße, die die Dynamik fast aller Punkte aus dem Einzugsbereich beschreiben. Unter gewissen Voraussetzungen sind diese Maße für ein Teilintervall des Bifurkationsparameters auf einem Solenoid konzentriert, obwohl das in den neuen Attraktoren nirgends dicht liegt.
Ziel der weiteren Arbeit ist es, einerseits bisher notwendige Voraussetzungen abzuschwächen und andererseits die Situation nach der Bifurkation durch weitere dynamische Größen (Lyapunov-Exponenten, Entropie) zu beschreiben.
Projektliteratur: