Numerische Lösung von stochastischen Differentialgleichungen in berandeten Gebieten

Bearbeiter: G. N. Milstein

Kooperation: M. V. Tret'yakov, Universität Ekaterinburg

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Aufgaben der numerischen Lösung von Systemen stochastischer Differentialgleichungen (SDG) entstehen im Zusammenhang mit stochastischen Verfahren für Randwertaufgaben bei partiellen Differentialgleichungen. In der Arbeit [1] werden Fragen der starken Approximation von Lösungen von SDG in beschränkten Gebieten behandelt. In [2-4] werden Randwertaufgaben für parabolische Differentialgleichungen gelöst. Bei diesen Methoden wird wesentlich der wahrscheinlichkeitstheoretische Apparat der SDG eingesetzt. Für deren numerische Lösung werden spezielle Methoden der schwachen Approximation entwickelt, die im Hinblick auf die Behandlung partieller Differentialgleichungen durch Monte-Carlo-Methoden ausreichend sind. Die in den Arbeiten [2-4] entwickelten Algorithmen basieren auf der Konstruktion geeigneter Markovketten. Untersucht werden Fragen der Konvergenz, der Approximationsgüte und der numerischen Komplexität dieser Verfahren.

Analoge Probleme werden für elliptische Randwertaufgaben betrachtet, bei deren Lösung neue Schwierigkeiten entstehen. Von besonderem Interesse sind solche Probleme mit kleinem Parameter. Im vorliegenden Fall ist es natürlich, spezielle Methoden der numerischen Integration für Systeme mit geringem Rauschen zu verwenden, vgl. [5,6].

Die Arbeit [7] beinhaltet die Untersuchung der Orbitalstabilität unter zufälligen Störungen.

Projektliteratur:

1. G. N. MILSTEIN, The simulation of phase trajectories of a diffusion process in a bounded domain, erscheint in: Stochastics and Stochastics Reports.
2. G. N. MILSTEIN, The solving of boundary value problems by numerical integration of stochastic equations, Mathematics and Computers in Simulation, 38, 77-85, 1995.
3. G. N. MILSTEIN, The solution of the first boundary value problem for parabolic equations by integration of stochastic equations, Theor. Prob. Appl., 40, (3), 657-665, 1995.
4. G. N. MILSTEIN, Application of numerical integration of stochastic equations for the solution of boundary value problems with Neumann Boundary Condition, erscheint in: Theor. Prob. Appl.
5. G. N. MILSTEIN AND M. V. TRET'YAKOV, Mean-square numerical methods for stochastic differential equations with small noises, eingereicht bei: SIAM J. on Scientific Computing, 1995.
6. G. N. MILSTEIN AND M. V. TRET'YAKOV, Numerical methods in weak sense for stochastic differential equations with small noise, eingereicht bei: SIAM J. on Numerical Analysis, 1995.
7. G. N. MILSTEIN AND L. B. RYASHKO, A first approximation of the quasipotential in problems of the stability of systems with random non-degenerate perturbations, J. Appl. Maths. Mechs., 59, (1), 47-56, 1995.