Bearbeiter: G. Bruckner, S. Handrock--Meyer, S. Prößdorf
Kooperation: R. Gorenflo (FU Berlin), G. Vainikko (Universität Tartu), P. Maaß (Universität Potsdam), K. Kunisch, R. Plato (TU Berlin)
Beschreibung der Forschungsarbeit:
Ziel ist die Entwicklung effektiver Näherungsverfahren zur Lösung von Integralgleichungen erster Art mit gestörten rechten Seiten. Schwerpunkt der Untersuchungen sind Randintegralgleichungen, die aus Dirichletproblemen für elliptische Differentialgleichungen abgeleitet wurden und für die bei exakten rechten Seiten in der Fachliteratur Approximationsverfahren vorhanden sind. Modellproblem ist dabei die Symmsche Gleichung, die wegen ihrer breiten Anwendbarkeit auf Probleme der Mechanik, Hydrodynamik, Elektrostatik, Gravitation, Diffusion u.a. besonders interessant und wichtig ist.
Zur Lösung dieser Aufgabe wurde eine Dekompositionsmethode entwickelt, die darin besteht, das Gesamtproblem zu zerlegen in ein gutgestelltes Problem, in das der Operator und eine geeignete Approximation der rechten Seite eingeht, und ein schlechtgestelltes Approximationsproblem für die rechte Seite aus den Meßwerten. Vorteil dieser Methode ist, daß die Diskretisierungsverfahren -- d.h. Wahl der Ansatz-- und Testfunktionen -- für die beiden Teilprobleme voneinander unabhängig sein können. Das gutgestellte Teilproblem kann dem Operator angepaßt werden, das schlechtgestellte Teilproblem der a--priori--Information für die Lösung und den Besonderheiten der Meßdaten. Für die hier zu untersuchende spezielle Problemklasse der Randintegralgleichungen wurde das gutgestellte Teilproblem in der Fachliteratur behandelt und kann hier als bekannt vorausgesetzt werden. Das schlechtgestellte Approximationsproblem wurde durch Regularisierung einer Einbettungsabbildung gelöst. Dies geschah zunächst im eindimensionalen Fall und für glatte geschlossene Randkurven mit Hilfe der Methode der abgeschnittenen Singulärwertzerlegung. Rechnungen wurden hierzu im Falle der Symmschen Gleichung durchgeführt. Besonders angepaßt an die diskret gegebenen Meßwerte erschien die Kollokationsmethode mit trigonometrischen Polynomen, Splines oder Wavelets als Ansatzfunktionen. Für diese Fälle wurden optimale Fehlerabschätzungen für das Teil-- und das Gesamtproblem angegeben. Begonnen wurden Untersuchungen auf Kurven mit Ecken und für den mehrdimensionalen Fall. Daneben sind Integralgleichungen erster Art mit der Methode der Regularisierung durch Diskretisierung, insbesondere mit Projektionsverfahren untersucht worden. Speziell wurde das Ritz--Verfahren betrachtet. Für die Teilräume, in denen die Näherungslösung gesucht wird, sind Räume, die von Wavelets erzeugt werden, verwendet worden. Es wurde bewiesen, daß das Ritz--Verfahren für diese Auswahl der Teilräume quasioptimal und robust ist. Damit ist gezeigt: 1.) Das Verfahren ist zur Regularisierung nichtkorrekter Probleme brauchbar. 2.) Wavelets können auch auf nichtkorrekte Probleme angewendet werden. Diese Untersuchungen werden im nächsten Jahr in theoretischer und numerischer Hinsicht fortgesetzt.
Förderung: DFG
Projektliteratur: