Bearbeiter: J. Fuhrmann
Kooperation: N. Neuss (Universität Heidelberg), G. Wittum (Universität Stuttgart)
Beschreibung der Forschungsarbeit:
Es existiert eine Reihe von Problemen, bei denen die Definition robuster Multigrid-- und Multilevelverfahren Schwierigkeiten bereitet. Dazu zählen Konvektions--Diffusionsprobleme, wie sie bei der Lösung der Halbleitergleichungen oder der Simulation von Transportprozessen in porösen Medien auftreten, und diskrete Probleme auf unstrukturierten Netzen, denen keine Finite-''Ëlemente-Hierarchie zugrundeliegt, wie sie z. B. von dem Gittergenerator IBG erzeugt werden.
Einen Ausweg aus dieser Problematik bietet das algebraische Mehrgitterverfahren, dessen Grundidee darin besteht, die für ein Mehrgitterverfahren notwendigen Grobgitterprobleme und Transferoperatoren allein aus der auf dem feinen Gitter vorhandenen Information zu erzeugen.
In diesem Projekt geht es einerseits darum, diese Klasse von Verfahren unter Verwendung moderner Theorien für Multigrid-- und Multilevelverfahren zu verstehen. Andererseits sollen Softwarekomponenten bereitgestellt werden, die einen flexiblen Einsatz solcher Verfahren unter Ausnutzung a priori gegebener Informationen erlauben. Insbesondere soll durch eine Trennung von Grobgittererzeugung und Matrixkondensation ein Verfahren entstehen, welches sich effektiv bei der Lösung von Problemserien auf gleichbleibenden Netzen, z. B. bei der Lösung nichtlinearer oder parabolischer Gleichungssysteme einsetzen läßt.
In diesen Rahmen kann bereits der dimensionsunabhängige Mehrgittervorkonditionierer mg2537 [1] eingeordnet werden, der für den Spezialfall topologisch quaderförmiger oder toroidaler Netze ein solches Schema realisiert. Die Komponenten dieses Vorkonditionierers werden allein aus den Daten des Feingitteroperators generiert. Für spaltenweise diagonaldominante Matrizen wird die numerische Stabilität dieses Prozesses durch die Verwendung einer speziellen Matrixdatenstruktur mit unassemblierter Hauptdiagonale garantiert. Es werden matrixabhängige Transferoperatoren verwendet. Die 5-- bzw. 7--Diagonalstruktur des Feingitterproblems wird unter Benutzung rekursiv generierter approximativer Galerkingrobgitteroperatoren, deren Koeffizienten letzlich durch harmonische Mittelung aus denen der Feingitteroperatoren gebildet werden, auf die groben Gitter vererbt. Der Vorkonditionierer ist auch in diagonal gewichteten Skalarprodukten, wie sie bei Problemen aus der Halbleiterbauelementesimulation auftreten, selbstadjungiert.
Für den Fall unstrukturierter Netze wurden erste algorithmische Ansätze bereits erfolgreich getestet (siehe Bild).
Förderung: DFG, SFB 359 (Universität Heidelberg), Teilprojekt YE1 ,,Gesättigt--''üngesättigter Wasser- und Stofftransport in porösen Medien``
Projektliteratur: