Etliche stochastische Modelle haben ihre Bedeutung, Interpretation und Sinn nur, wenn sie in einen räumlichen Kontext eingebettet sind. Wir denken hier hauptsächlich an räumlich verteilte zufällige Strukturen wie Ensembles von Punktwolken, Pfade (z.B. Loops), geometrische Graphen, Verzweigungsbäume etc., die miteinander Interaktionen haben. Etliche der Modelle haben auch eine zeitliche Komponente, d.h., sie sind stochastische Prozesse solcher zufälligen Objekte. Das Ziel ist dann immer die Entwicklung von mathematischen Methoden für die makroskopische Beschreibung des Systems. Besonderes Interesse gilt Systemen, in denen Phasenübergänge versteckt sind, die mit solchen Methoden zur Oberfläche gebracht werden und deren Existenz rigoros bewiesen wird.

Besonderes Interesse gilt am WIAS Systemen, die unbeschränkt große, räumlich langreichweitige Objekte beinhalten und auf diese Weise Phasenübergänge ermöglichen, die von der Art des Hervortretens von makroskopischen Strukturen sind, sobald ein Parameter einen kritischen Schwellenwert übersteigt. Dies sind Übergänge von Kondensations- oder solche vom Gelations- oder Perkolationstyp, die alle eng zusammenhängen, aber signifikante Unterschiede aufweisen.

Einer der Hauptuntersuchungsgegenstände am WIAS sind Modelle zufälliger interagierender Loops in einer großen Box im thermodynamischen Grenzwert, wo die Gesamtlänge aller Loops von der Größenordnung des Volumens der Box ist. Der prominenteste Vertreter solcher Modelle ist das interagierende Bose-Gas, in dem der berühmte Bose-Einstein-Kondensations-Phasenübergang vermutet wird: das Auftreten von Loops sehr großer Länge, sobald die Temperatur unter eine kritische Grenze fällt. Solche Modelle sind wichtige Prototypen von Spinmodellen, also Gibbs'schen Modellen von Partikeln, deren Spinraum unbeschränkt ist und Anlass zu neuen Effekten gibt. Am WIAS werden zwei unterschiedliche Strategien verfolgt (siehe auch das mathematische Thema "Interagierende stochastische Vielteilchensysteme" und "Große Abweichungen"), und zwar die Analyse der freien Energie des Systems im thermodynamischen Grenzwert in Termen einer variationellen Beschreibung sowie mit Hilfe von unendlich langen Brown'schen Bewegungen, sowie die Anwendung von Manipulationen wie Reflektionen und die Herleitung von Korrelationsungleichungen.

Eine andere Richtung, in der das WIAS arbeitet, sind räumliche Modelle für große Partikelwolken mit Koagulationsmechanismus (siehe das Anwendungsgebiet "Koagulation"), in denen die zufällige Entstehung besonders großer (makroskopischer) Partikel für gewisse Koagulationskerne nach genügend später Zeit im Grenzwert großer Partikelsysteme untersucht wird, sogenannte Gelation. Dieser Phasenübergang kann als eine Art Explosionsübergang gesehen werden, denn alle anderen Partikel wachsen normal weiter, und ab und zu springt eines über diese Übergangsgrenze. Die Neuheit der Arbeit des WIAS besteht darin, räumliche Modelle zu betrachten. Gegenwärtig werden verinfachte Modelle betrachtet, in denen die Koagulation nicht durch eine Ortsverändreung der beiden beteiligten Partikel ausgedrückt wird, sondern durch das Einfügen einer Kante; auf diese Art entsteht einzufälliger geometrischer wachsender Graph, dessen Zusammenhangskomponenten studiert werden. Das Hauptmittel hier ist eine kombinatorische Entwicklung sowie ein Ansatz der Theorie der großen Abweichungen, siehe das gleichnamige mathematische Thema.

Research
Eine Simulation eines Systems Brown'scher Loops als Marken an den Punkten eines Punktprozesses

Entscheidende räumliche Einflüsse gibt es auch bei der asymptotischen Analyse des parabolischen Anderson-Modells (siehe auch das mathematische Thema "Spektra zufälliger Operatoren"), dess räumlicher Zufall als ein Gauß'sches weißes Rauschen gegeben ist. Eine sinnvolle Definition dieses Modells ist eine Aufgabe für sich gewesen und gelingt nur in Dimensionen bis zu drei; wir sind am zeitlich asymptotischen Verhalten interessiert, insbesondere im Hinblick auf das Phänomen der Intermittenz. Für räumlich diskrete Modelle ist dieses Phänomen mittlerweile gut verstanden, aber im kontinuierlichen Fall mit weißem Rauschen ist dies noch eine Herausforderung, der das WIAS sich in Dimension zwei stellt. Da die Lösung dieser Gleichung hier keine Funktion, sondern eine Distribution ist, ist eine Formulierung des Effektes (nämlich dass sich die Hauptmasse der Lösung auf kleinen Inseln konzentriert) a priori unklar und der Beweis schwierig.


Publikationen

  Preprints, Reports, Technical Reports

  • S. Jansen, W. König, B. Schmidt, F. Theil, Distribution of cracks in a chain of atoms at low temperature, Preprint no. 2789, WIAS, Berlin, 2020, DOI 10.20347/WIAS.PREPRINT.2789 .
    Abstract, PDF (414 kByte)
    We consider a one-dimensional classical many-body system with interaction potential of Lennard--Jones type in the thermodynamic limit at low temperature 1/β ∈ (0, ∞). The ground state is a periodic lattice. We show that when the density is strictly smaller than the density of the ground state lattice, the system with N particles fills space by alternating approximately crystalline domains (clusters) with empty domains (voids) due to cracked bonds. The number of domains is of the order of N exp(-β e surf /2) with e surf > 0 a surface energy.

  • B. Jahnel, A. Tóbiás, Absence of percolation in graphs based on stationary point processes with degrees bounded by two, Preprint no. 2774, WIAS, Berlin, 2020, DOI 10.20347/WIAS.PREPRINT.2774 .
    Abstract, PDF (548 kByte)
    We consider undirected graphs that arise as deterministic functions of stationary point processes such that each point has degree bounded by two. For a large class of point processes and edge-drawing rules, we show that the arising graph has no infinite connected component, almost surely. In particular, this extends our previous result for SINR graphs based on stabilizing Cox point processes and verifies the conjecture of Balister and Bollobás that the bidirectional $k$-nearest neighbor graph of a two-dimensional homogeneous Poisson point process does not percolate for k=2.