Wellenausbreitung in porösen Körpern

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Wellenausbreitung in porösen Körpern

Bearbeiter: K. Wilmanski

Kooperation: I. Edelman (Stipendiatin der Alexander von Humboldt-Stiftung, derzeit WIAS), E. Radkevich (Staatliche Universität Moskau, Russland), D. Kolymbas (Universität Innsbruck, Institut für Geotechnik und Tunnelbau)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

In Bezug auf Ergebnisse für Schallwellen, die in den letzten Jahren für das eigene Modell für poröse Körper erzielt worden sind, wurden zwei Gebiete der Wellenausbreitung untersucht, nämlich

1.: Oberflächenwellen für zweikomponentige gesättigte poröse Körper und
2.: Riemann-Probleme für starke Singularitäten (kinkförmige Unstetigkeiten der Geschwindigkeiten).

Für Oberflächenwellen wurden zwei Teilaufgaben gelöst:

a/: Der poröse Körper befindet sich in Kontakt mit Vakuum, die Grenze ist für die flüssige Komponente undurchlässig.
b/: Der poröse Körper befindet sich in Kontakt mit einer Flüssigkeit, die durch den durchlässigen Rand ausfließt.

Die erste Aufgabe führt für kurze Wellen zu der folgenden dimensionslosen Dispersionsgleichung ( $\left[ 1\right])$

$\begin{displaymath} -\frac{i\mu }{2\gamma _{1}\gamma _{2}}\left[ -\left( \rho _{... ...{2}^{S2}}-4\mu \frac{\gamma _{1}\gamma _{2}}{k^{2}}\right] =0, \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \gamma _{1}:=\left\vert k\right\vert \sqrt{1-\frac{\omega ^{... ...eft\vert k\right\vert \sqrt{1-\frac{\omega ^{2}}{U_{2}^{S2}}}, \end{displaymath}$

wo U₁^S,U₂^S,U^F die dimensionslosen Ausbreitungsgeschwindigkeiten der P1-, S-, P2-Schallwellen bezeichnen, $\rho _{0}^{S},\rho _{0}^{F}$ sind Referenzmassendichten der beiden Komponenten, $\omega$ ist die dimensionslose Wellenfrequenz und k die Wellenzahl. Die asymptotische Analyse dieser Gleichung zeigt, dass sich zwei Arten von Oberflächenwellen ausbreiten: eine generalisierte Rayleigh-Welle , die durch Energieübertragung auf andere Wellen gedämpft ist und deren Geschwindigkeit größer als die Geschwindigkeit der P2-Wellen ist, und eine Stoneley-Welle , die die kleinste Ausbreitungsgeschwindigkeit besitzt und nicht gedämpft ist.

Die zweite Aufgabe basiert auf der Randbedingung für durchlässige Ränder, die in der Gruppe früher entwickelt worden ist. Es wurde bewiesen ( $\left[ 2\right]$ ), dass in diesem Fall drei Oberflächenwellen möglich sind: außer zwei Arten, die für einen undurchlässigen Rand existieren, entsteht eine neue Pseudo-Stoneley-Welle . Diese Welle wird gedämpft und breitet sich mit einer Geschwindigkeit aus, die, ähnlich wie bei der Rayleigh-Welle, etwas größer ist als die Geschwindigkeit der P2-Welle . Die Eigenschaften dieser Wellen sind sehr stark vom Oberflächendurchlässigkeitsparameter $\alpha$ abhängig. Diese Arbeit wird im nächsten Jahr fortgesetzt. Es sollen numerische Beispiele untersucht und Oberflächenwellen auf den Kontaktflächen zweier verschiedener poröser Körper beschrieben werden. Außerdem wird versucht, die Ergebnisse praktisch im Bereich der Bodenmechanik umzusetzen.

Dieses Projekt wird mit Hilfe eines linearisierten Modells durchgeführt, was für die Beschreibung von Oberflächenwellen völlig ausreichend ist. Das zweite Forschungsprojekt betrifft die Ausbreitung von starken Singularitäten, deren Existenz nichtlineare Beiträge im Modell verlangt. Für diese Aufgabe wurden erste Ergebnisse mit Hilfe von asymptotischen Methoden erzielt ([3]). Zum Beispiel wurde gezeigt, dass die Porositätsgleichung, die in dem eigenen Modell ein wesentlicher Beitrag ist, keine zusätzlichen Randbedingungen verlangt. Für kinkähnliche Geschwindigkeitswellen entstehen Pseudosolitonen für die dynamische Störung der Porosität. Diese Eigenschaft ist charakteristisch für Gleichungen mit Dispersion, wie zum Beispiel in der Korteweg-de-Vries-Gleichung. Pseudosolitonen degenerieren zu Dirac- $\delta$ -Singularitäten in der Null-Grenze des kleinen Parameters $\beta$ (dynamische Kopplung der Komponenten).

Projektliteratur:

I. EDELMAN, K. WILMA´NSKI, E. RADKEVICH, Surface waves at a free interface of a saturated porous medium, WIAS-Preprint No. 513, 1999.
I. EDELMAN, K. WILMA´NSKI, Surface waves at an interface separating a saturated porous medium and a liquid, WIAS-Preprint No. 531, 1999.
E. RADKEVICH, K. WILMA´NSKI, Riemann problem for poroelastic materials with the balance equation for porosity, erscheint als WIAS-Preprint.