Entmischungsphänomene in binären Legierungen

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Entmischungsphänomene in binären Legierungen

Bearbeiter: W. Dreyer , M. Kunik

Kooperation: W. H. Müller (Heriot-Watt University, Edinburgh, Großbritannien), P. Colli (Universität Pavia, Italien), S. Eichler (Freiberger Compound Materials GmbH), J. Sietsma, Y. van Leeuwen (Laboratory of Material Science, Delft, Niederlande)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Im Jahr 1997 wurde in Dreyer/Müller [1] ein Phasenfeldmodell vom Cahn-Hilliard-Typ aufgestellt, welches die Entstehung und das Wachstum von Ausscheidungen in binären Legierungen unter Einfluss lokaler Eigenspannungsfelder und bei anisotropen Phasengrenzflächen beschreiben kann.

Im Berichtszeitraum wurden für dieses Modell folgende Untersuchungen durchgeführt.

Zur Anwendung auf in der Mikroelektronik eingesetzte Zinn-Blei-Lote wurden sämtliche erforderlichen Materialparameter des Modells aus realistischen Daten gewonnen. Insbesondere wurden nichtkonvexe freie Energien für das Zinn-Blei-System ermittelt.
Die Mobilitäten für die Diffusion von Zinn in der bleireichen Phase und von Blei in der zinnreichen Phase wurden bestimmt und weisen Unterschiede von bis zu vier Größenordnungen auf. Es kann somit fast von einem unstetigen Übergang an einer Phasengrenzfläche gesprochen werden.
Sprekels, Klein und Dreyer haben einige Vereinfachungen des Modells studiert, um dieses einer ersten rigorosen mathematischen Behandlung zuzuführen. Hierzu wurde eine Zusammenarbeit mit der Gruppe von Prof. Colli in Pavia begonnen.
Ein Vergleich von numerisch gewonnenen Lösungen des Modells mit Experimenten hat gezeigt, dass der Einfluss der lokalen Spannungsfelder auf die Diffusion stärker sein müsste, als es bisher im Modell wiedergegeben wird. Eine der zentralen Größen des Modells ist der Diffusionsfluss

$\begin{displaymath} J_{i}=-M_{ij}\frac{\partial w_{jk}}{\partial x_{k}}.\end{displaymath}$ (8)

In der bisher verwendeten Version des Phasenfeldmodells ist das Potential w_jk gegeben durch $w_{jk}=w\delta _{jk}$ mit

$\begin{displaymath} w=\left( \frac{\partial \psi \left( c\right) }{\partial c}-a... ...\epsilon _{mn}^{\ast }\left( c\right) \right) \right) \right) .\end{displaymath}$ (9)

Hier bedeuten: M_ik - Matrix der Mobilitäten, c - das zu bestimmende Phasenfeld, welches repräsentiert wird durch die Konzentration der Komponente B, $\psi$ - freie Energiedichte, a_ij - Matrix der Gradientenkoeffizienten, $\epsilon _{ij}$ - Komponenten des Verzerrungsfeldes, C_ijmn - Steifigkeitsmatrix, $\epsilon _{ij}^{\ast }$ - Komponenten des Eigenverzerrungsfeldes, welches durch unterschiedliche thermische Ausdehnungen der Phasen oder/und durch Kohärenzfelder erzeugt wird.
In einer begonnenen Untersuchung der Ursachen für den zu schwachen Einfluss der lokalen Spannungen auf die Diffusion haben wir eine Methode entwickelt, die es gestattet, das bisher im Modell verwendete Potential w mit einer entsprechenden Darstellung zu vergleichen, die rigoros hergeleitet werden kann aus den mikroskopischen Bewegungsgleichungen von Teilchen der Sorten A und B einer binären Mischung. Die mikroskopische Theorie liefert für das Potential w die Darstellung
$\begin{eqnarray} && w_{jk}\left( t,\mathbf{x}\right) =\nonumber\ &&-\int\limits... ...alpha \beta }\left( \vartheta \right) \right) \,d\mu \Big). \notag\end{eqnarray}$

In dieser Darstellung wird das Potential des makroskopischen Diffusionsflusses vollständig durch mikroskopische Größen der atomaren Ebene ausgedrückt. Es bedeuten: $x^{\alpha }\left( \vartheta \right) ,\dot{x}_{i}^{\alpha }\left( \vartheta \ri... ...beta }\left( \vartheta \right) ,r_{k}^{\alpha \beta }\left( \vartheta \right)$ Orte, Geschwindigkeiten, Wechselwirkungskräfte und Relativabstände zur Mikrozeit $\vartheta$ der N Mikroteilchen, die mit griechischen Buchstaben indiziert werden. Ob ein Index $\alpha$ ein A- oder ein B-Teilchen charakterisiert, wird durch die Größe $\hat{c}\left( \alpha \right) \in \{0,1\}$ festgelegt. Die Verbindung zwischen den mikroskopischen Größen und den makroskopischen Größen im Zeit- und Raumpunkt $\left( t,x\right)$ wird durch Bildung von Mittelwerten mit Hilfe einer Fensterfunktion $\chi \left( t,\mathbf{x}\right)$ in Zeit und Raum hergestellt, siehe (2). In diese Bildung geht die Kenntnis der mikroskopischen Teilchentrajektorien ein. Eine explizite Auswertung der Darstellung 3 ist eine der Aufgaben für das Jahr 2000.
Im Berichtszeitraum haben sich durch Aufnahme zweier Kooperationen weitere Fragestellungen ergeben:
Die Wärmebehandlung von einkristallinem Gallium-Arsenid führt zur unerwünschten Bildung von Gallium-Inseln. Um zu Kriterien zu kommen, damit dieses Phänomen nicht auftritt, soll der Ausscheidungsprozess mit dem Phasenfeldmodell simuliert werden.
Der $\gamma\rightarrow\alpha$ -Phasenübergang in Stahl wird initiiert durch Diffusion von Kohlenstoff, dessen Konzentration bei entsprechender Temperatur in ein Zweiphasengebiet eintritt. Dieser Phasenübergang geht ebenfalls einher mit der Bildung lokaler Spannungsfelder, so dass auch hier eine Simulation mittels des Phasenfeldmodells durchgeführt werden soll. Vorarbeiten haben bereits gezeigt, dass dies in einfacherer Weise möglich ist, als durch die Verwendung des bisher vom Kooperationspartner benutzten Modells mit scharfen Phasengrenzflächen.

Projektliteratur:

W. DREYER, W. H. MÜLLER, On the coarsening of the eutectic structure in tin/lead solders, Internat. J. Solids Structures, 37 (2000), pp. 3841-3871.
W. DREYER, M. KUNIK, Cold, thermal and oscillator closure of the atomic chain, WIAS-Preprint No. 489, 1999, erscheint in: J. Phys. A.