Existenz und Optimierung nichtglatter Bögen

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Existenz und Optimierung nichtglatter Bögen

Bearbeiter: J. Sprekels , D. Tiba

Kooperation: A. Ignat (Universität Iasi, Rumänien)

Beschreibung der Forschungsarbeit: Die Untersuchungen befassten sich mit der Modellierung der Deformation eines beidseitig eingespannten Bogens der Dicke $\,\sqrt{\varepsilon}\,$ , der durch eine Kurve $\,\varphi: [0,1]\to \IR^2\,$ beschrieben wird. Sind $\,(f_1,f_2)\in (L^2(0,1))^2\,$ die am Bogen angreifende Kraft und $\,c\,$ die Krümmung des Bogens, so führt (in lokalen Koordinaten) das Kirchhoff-Love-Modell (Verwendung des Dirichlet-Prinzips) auf die Variationsaufgabe

$\begin{eqnarray} &&\int_0^1\Bigl(\varepsilon^{-1}\,(v_1'-c\,v_2)\,(u_1'-c\,u_2) ... ...uad\forall\,u_1\in H^1_0 (0,1)\,\quad\forall\,u_2\in H^2_0(0,1)\,.\end{eqnarray}$

Die Unbekannten $\,v_1\,,\,v_2\,$ stellen dabei die tangentiale bzw. normale Verschiebung des Bogens dar, d.h. es gilt $\,\vec{v}=(v_1,v_2)=v_1\,\vec{t}\,+\,v_2\,\vec{n}\,$ , wobei $\,\vec{t}\,$ der Tangenteneinheitsvektor und $\,\vec{n}\,$ der Normaleneinheitsvektor sind.

Damit (1) sinnvoll ist, wurde bisher üblicherweise in der Literatur (vgl. z.B. [1], [2]) angenommen, dass $\,c\in W^{1,\infty}(0,1)\,$ , d.h. $\,\varphi\in (W^{3,\infty} (0,1))^2\,$ , gilt. Unter dieser Annahme erhält man eindeutige Lösbarkeit.

Durch diese hohe Glattheitsforderung konnten bisher praktisch wichtige Fälle, wie z.B. gothische Bögen, nicht behandelt werden. Es ist ein Ziel der Untersuchungen, diese Einschränkung zu überwinden. Hierzu wurde eine neue variationelle Formulierung hergeleitet, die auf Methoden der optimalen Steuerung beruht und auch für den Fall $\,\varphi\in W^{1,\infty}(0,1)$ , d.h. für Bögen mit Ecken, anwendbar ist.

Es seien dazu $\,g_1:=\varepsilon\,\ell\,$ und $\,g_2\in H^3(0,1)\cap H^1_0(0,1)\,$ die eindeutige Lösung der Zweipunktrandwertaufgabe

$\begin{displaymath} -g_2''=h \,\quad\mbox{in }\, (0,1)\,,\quad g_2(0)=g_2(1)=0\,,\end{displaymath}$ (10)

wobei sich $\,\ell\,$ und $\,h\,$ aus der Anfangswertaufgabe

$\begin{displaymath} -\,\ell'\,-\,c\,h=f_1\,,\quad c\,\ell\,-\,h'=f_2\,,\quad\mbox{in }\,(0,1)\,,\quad \ell(0)=h(0)=0\end{displaymath}$ (11)

bestimmen. Wir betrachten dann das folgende unrestringierte Problem der optimalen Steuerung:

Finde $\,(u,z;v_1,v_2)\in L^2(0,1)\times H^1_0(0,1)\times H^1_0(0,1)\times H^1_0(0,1)\,$ mit (P)

$\begin{displaymath} \frac{1}{2\,\varepsilon}\,\int_0^1u^2\,ds \,+\,\frac{1}{2}\,\int_0^1\vert z'\vert^2\,ds \,\,=\,\,\min.\,,\end{displaymath}$

unter der Zustandsgleichung

$\begin{displaymath} c\,v_1+v_2'=z+g_2\,,\quad v_1'-c\,v_2=u+g_1\,,\quad\mbox{in }\, (0,1)\,,\quad v_1(0)=v_2(0)=0\end{displaymath}$

(12)

und der Endbedingung

$\begin{displaymath} v_1(1)=v_2(1)=0\,.\end{displaymath}$

(13)

Es lässt sich zeigen, dass im Falle $\,c\in W^{1,\infty}(0,1)\,$ für jede Lösung $\,(u,z;v_1,v_2)\,$ von (P) gilt, dass $\,(v_1,v_2)\,$ Lösung von (1) ist und umgekehrt.

Es stellt sich nun heraus, dass das zu (P) duale Problem endlich-dimensional ist und eine vollständige Lösung zulässt. Hieraus erhält man dann sogar explizite Lösungen für die Deformation Lipschitz-stetiger Bögen.

Ferner ergibt sich Folgendes: Schreibt man die notwendigen Optimalitätsbedingungen für (P) (oder für das duale Problem) in Form des Pontryagin'schen Maximum-Prinzips, so erhält man eine spezielle Dekomposition von (1) in ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung mit Zweipunkt-Randbedingungen. In dieser Hinsicht stellt der neue Ansatz eine Fortsetzung der von Sprekels und Tiba (vgl. [3,4,5]) entwickelten Ideen für Platten und Stäbe dar.

Als weitere Aufgabenstellungen wurden Probleme der Shape Optimierung für (1) untersucht. Hierbei sind $\,\varphi\,$ (oder c) so zu bestimmen, dass für ein gegebenes Kräftepaar $\,(f_1,f_2)\,$ die resultierende Deformation bestimmte gewünschte Eigenschaften besitzt. Ein typisches Beispiel ist es, die Deformation $\,v_2\,$ in Normalenrichtung im Sinne der $\,L^2(0,1)\,$ -Norm zu minimieren. Es ist im Berichtszeitraum gelungen, die Existenz einer Lösung dieses nichtkonvexen Optimierungsproblems für Lipschitz-stetige Bögen nachzuweisen und die notwendigen Optimalitätsbedingungen erster Ordnung herzuleiten.

Die theoretischen Resultate und die Ergebnisse erster numerischer Tests sind in [6] dokumentiert.

Projektliteratur:

PH. CIARLET, The Finite element method for elliptic problems, North-Holland, Amsterdam, 1978.
D. CHENAIS, J.-C. PAUMIER, On the locking phenomenon for a class of elliptic problems, Numer. Math., 67 (1994), pp. 427-440.
J. SPREKELS, D. TIBA, A duality-type method for the design of beams , Adv. Math. Sci. Appl., 9 (1999), pp. 89-102.
$\dito$ ,On the approximation and optimization of fourth order elliptic problems, in: Intern. Ser. Numer. Math., Vol. 133, Birkhäuser Verlag, Basel, 1999, pp. 277-286.
$\dito$ ,A duality approach in the optimization of beams and plates , SIAM J. Control Optimiz., 37 (1998/99), pp. 486-501.
$\dito$ ,Sur les arches lipschitziennes, WIAS-Preprint No. 550, 2000.