Zur Regularität nichtglatter linearer parabolischer Anfangsrandwertprobleme

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Zur Regularität nichtglatter linearer parabolischer Anfangsrandwertprobleme in Sobolev-Campanato-Räumen

Bearbeiter: J. A. Griepentrog

Beschreibung der Forschungsarbeit: Gegenstand unserer Untersuchungen sind qualitative Eigenschaften der Operatoren $\Lambda + L$ ,die als Summe von $\Lambda: \{ u \in L^2(S;H_{\circ}^1(G)): (au)' \in L^2(S;H^{-1}(G)), \, u(t_1) = 0 \} \rightarrow L^2(S;H^{-1}(G))$ und $L: L^2(S;H_{\circ}^1(G)) \rightarrow L^2(S;H^{-1}(G))$ vermöge der Vorschriften

$\begin{displaymath} \begin{array} {c} \displaystyle\int_{S} \langle Lu(s), w(s) ... ...) \, \mathrm{d} \lambda_{\partial G} \, \mathrm{d} s\end{array}\end{displaymath}$

und

$\begin{displaymath} \displaystyle\int_{S} \langle \Lambda u(s), w(s) \rangle_{G}... ...} s \quad\mbox{jeweils f\uml {u}r } w \in L^2(S;H_{\circ}^1(G))\end{displaymath}$

definiert sind, sowie Regularitätseigenschaften der zu den Funktionalen $F \in L^2(S;H^{-1}(G))$ gehörenden Lösungen des linearen parabolischen Anfangsrandwertproblems

$\begin{displaymath} \displaystyle\int_S \langle \Lambda u(s) + Lu(s), w(s) \rang... ...box{f\uml {u}r } w \in L^2(S;H_{\circ}^1(G)), \quad u(t_1) = 0.\end{displaymath}$

(3)

Unsere Voraussetzungen an die Daten der genannten Aufgabenklasse (1) sind so allgemein formuliert, dass Anfangsrandwertprobleme mit nichtglatten Koeffizienten auf beschränkten Zeitintervallen S = (t₁,t₂) in beschränkten, nichtglatten Teilmengen G des ${\IR}^n$ der Raumdimension $n \ge 3$ unter gemischten Randbedingungen auf den Neumann- bzw. Dirichlet-Randstücken $\partial_N G = G \cap \partial G$ bzw. $\partial_D G = \partial G \setminus \overline{\partial_N G}$ des Randes von G behandelt werden können. Genauer gesagt, fordern wir die Regularität der Menge $G \subset {\IR}^n$ im Sinne von Gröger [2] sowie die Beschränktheit und die Messbarkeit der auf $G^{\circ}$ bzw. $S \times G^{\circ}$ und $S \times \partial_N G$ definierten Koeffizienten a bzw. A,b,c,d und e. Während b und c vektorwertige sowie a,d und e skalare Größen sind, soll A Werte in der Menge der positiv definiten, symmetrischen $(n \times n)$ -Matrizen annehmen, mit anderen Worten, es möge eine Elliptizitätskonstante $0 < \varepsilon \le 1$ mit der Eigenschaft

$\begin{displaymath} \varepsilon \, \vert \xi \vert^2 \le A \xi \cdot \xi \le \df... ...f } S \times G^{\circ} \mbox{ f\uml {u}r alle } \xi \in {\IR}^n\end{displaymath}$

existieren. Außerdem setzen wir die Positivität des Koeffizienten a voraus, das heißt, es soll

$\begin{displaymath} \varepsilon \le a \le \dfrac{1}{\varepsilon} \quad\mbox{fast \uml {u}berall auf } G^{\circ}\end{displaymath}$

gelten. Dabei ist die Einbeziehung des Koeffizienten a in unsere Betrachtungen einerseits der Invarianz der Problemklasse (1) gegenüber allgemeinen Lipschitz-Transformationen geschuldet, andererseits aber auch für viele Problemstellungen von durchaus eigenständigem Interesse.

Mit unseren Forderungen wird der häufig anzutreffenden Nichtglattheit konkreter Aufgabenstellungen (z. B. instationäre Stoff- oder Wärmetransportprobleme in heterogenen, nichtglatt berandeten räumlichen Strukturen bei wechselnden Randbedingungen) Rechnung getragen.

Das wesentliche Ergebnis unserer Arbeit (siehe Griepentrog [1]) besteht darin, dass es in dieser allgemeinen Konstellation möglich ist, für die obige Klasse parabolischer Anfangsrandwertprobleme (1) die Existenz einer nur von $0 < \varepsilon \le 1$ und G abhängigen Konstanten $n < \overline{\omega} < n + 2$ zu beweisen, so dass für alle Parameter $0 \le \omega < \overline{\omega}$ der lineare parabolische Operator $\Lambda + L$ die Isomorphismus-Eigenschaft sowie die maximale Regularitätseigenschaft zwischen den Sobolev-Campanato-Räumen

$\begin{displaymath} W_{\circ\circ}^{\omega}(a,S,G) = \{ u \in L^2(S;H_{\circ}^1(... ...\circ},{\IR}^n), \, (au)' \in Y^{\omega}(S,G), \, u(t_1) = 0 \}\end{displaymath}$

sowie den Campanato-Räumen

$\begin{displaymath} Y^{\omega}(S,G) = \{ F \in L^2(S;H^{-1}(G)): \sup_{t \in S, ... ...S[t,r],G[x,r]} \Vert^2_{L^2(S[t,r];H^{-1}(G[x,r]))} < \infty \}\end{displaymath}$

besitzt. Hierbei verwenden wir die Symbole $S[t,r] = S \cap (t - r^2,t)$ und $G[x,r] = G \cap B(x,r)$ .

Darüber hinaus liegt eine lineare und stetige Abhängigkeit (im Sinne der Operatornorm) des Isomorphismus $\Lambda + L$ von den Koeffizienten A,b,c,d und e vor. Daraus ergibt sich insbesondere, dass die Lösung zu Problem (1) im Sinne des Sobolev-Campanato-Raumes $W_{\circ\circ}^{\omega}(a,S,G)$ sowohl glatt von den rechten Seiten $F \in Y^{\omega}(S,G)$ als auch glatt von den Koeffizienten A, b, c, d und e im Sinne der jeweiligen $L^\infty$ -Norm abhängt.

Man beachte, dass im Falle $3 \le n < \omega < n + 2$ der Sobolev-Campanato-Raum $W_{\circ\circ}^{\omega}(a,S,G)$ für $\alpha = (\omega - n)/2$ stetig in den Hölder-Raum $C^{0,\alpha/2}(\overline{S};C(\overline{G})) \cap C(\overline{S};C^{0,\alpha}(\overline{G}))$ eingebettet ist.

Im Vergleich zu unseren Ergebnissen liefern im Falle a = 1 bekannte Regularitätsresultate von Gröger, Rehberg [4], Gröger [3] die Existenz einer reellen Zahl $\overline{p} = \overline{p}(\varepsilon,G) \gt 2$ ,so dass der parabolische Operator $\Lambda + L$ für $q \ge 2$ und $2 \le p < \overline{p}$ ein Isomorphismus zwischen $\{ u \in L^q(S;W_{\circ}^{1,p}(G)): u \, ' \in L^q(S;W^{-1,p}(G)), \, u(t_1) = 0 \}$ und L^q(S;W^-1,p(G)) ist. Somit hängt die Lösung des Problems (1) im Raum $\{ u \in L^q(S;W_{\circ}^{1,p}(G)): u \, ' \in L^q(S;W^{-1,p}(G)), \, u(t_1) = 0 \}$ glatt von den rechten Seiten $F \in L^q(S;W^{-1,p}(G))$ ab. Insbesondere erhält man daraus für n = 2 sowie $2 < p < \overline{p}$ und q > 2p/(p - 2) die glatte Abhängigkeit der Lösungen im Sinne der Norm des Hölder-Raumes $C^{0,\alpha/2}(\overline{S};C(\overline{G})) \cap C(\overline{S};C^{0,\alpha}(\overline{G}))$ mit dem Exponenten $\alpha = 1 - 2/q - 2/p$ .

Projektliteratur:

J. A. GRIEPENTROG, Zur Regularität linearer elliptischer und parabolischer Randwertprobleme mit nichtglatten Daten, Dissertation, Humboldt-Universität zu Berlin, 1999.
K. GRÖGER, A W^1,p-estimate for solutions to mixed boundary problems for second order elliptic differential equations, Math. Ann., 283 (1989), pp. 679-687.
$\dito$ , W^1,p-estimates of solutions to evolution equations corresponding to nonsmooth second order elliptic differential operators, Nonlinear Anal., 18 (1992), pp. 569-577.
K. GRÖGER, J. REHBERG, Local existence and uniqueness of solutions to nonsmooth parabolic systems, in Vorbereitung.