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Tieftemperaturphasen in Modellen mit langreichweitiger Wechselwirkung

Bearbeiter: A. Bovier , Ch. Külske  

Kooperation: M. Zahradník (Karls-Universität Prag)

Förderung: DFG-Schwerpunktprogramm ,,Interagierende stochastische Systeme von hoher Komplexität``

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Eine Einführung in die allgemeine Thematik dieses Projektes wurde im Jahresbericht 1997 gegeben. In diesem Jahr wurden wesentliche Fortschritte in Hinblick auf die Behandlung von Spinsystemen   mit kontinuierlichen Spins   in der Gegenwart von eingefrorener Unordnung   erzielt.

Es wurde ein Modell für kontinuierliche Spins mit Wechselwirkung zwischen nächsten Nachbarn im zufälligen Magnetfeld in Raumdimensionen $d\geq 3$ betrachtet ([1]). Das ungestörte Modell ist durch ein symmetrisches Doppel-Minimum-Potential gegeben, und die Magnetfelder werden als ,,klein`` und platzweise unabhängig angenommen. Es wurde gezeigt, daß das Modell unter geeigneten ,,Niedrig-Temperatur``-Bedingungen an das Potential zwei ferromagnetische Phasen besitzt. Der Beweis benutzt eine geeignete stochastische Abbildung der kontinuierlichen Spins auf ihr Vorzeichenfeld, die als Beispiel einer nützlichen ,,Renormierungsgruppen``-Abbildung   ohne Pathologien angesehen werden kann. Eine Konturdarstellung   des resultierenden Ising-Systems   schließlich konnte dann mit den Renormierungsgruppenmethoden von Bricmont und Kupiainen behandelt werden, die für das Ising-Modell im Zufallsfeld   mit nächster-Nachbar-Wechselwirkung entwickelt wurden.

In einer weiteren Arbeit [2] konnte die Technik des continuous-to-discrete coarse grainings auf ungeordnete Schichtmodelle ausgedehnt werden, bei denen kontinuierliche Spins in einem zufällig gestörten periodischen Potential betrachtet wurden. Es wurde gezeigt, daß in einem ,,Tieftemperatur``-Regime bei ,,schwacher`` Unordnung in Dimensionen $D\geq 3+1$stabile Oberflächen   existieren. Bei spezieller Wahl des Potentials haben die Gibbs-Maße   im unendlichen Volumen hier die Form (zufälliger) Linearkombinationen von massiven Gaußschen Feldern mit Zentrierungen, die gemäß der Gibbs-Maße eines gewissen (zufälligen) diskreten SOS-Modells   verteilt sind. Zur Analyse des diskreten Problems konnte eine geeignete Konturmodelldarstellung gefunden werden, auf die die Renormierungsgruppenanalyse aus [3] angewendet werden konnte.

Projektliteratur:

1.  C. KÜLSKE, The continuous spin random field model: Ferromagnetic ordering in $d\geq 3$, WIAS-Preprint No. 412, 1998, erscheint in: Rev. Math. Phys.
2.  , Stability for a continuous SOS-interface model in a randomly perturbed periodic potential, WIAS-Preprint No. 466, 1998.
3.   A. BOVIER, C. KÜLSKE, A rigorous renormalization group method for interfaces in random media, Rev. Math. Phys., 6 (1994), pp. 413-496.

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