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Lineare elliptische Randwertprobleme mit nichtglatten Daten: Normale Lösbarkeit in Sobolev-Campanato-Räumen

Bearbeiter: J. A. Griepentrog

Kooperation: L. Recke (Humboldt-Universität zu Berlin)

Beschreibung der Forschungsarbeit: Gegenstand unserer Untersuchungen sind schwache Lösungen zu Randwertproblemen für lineare elliptische Gleichungen zweiter Ordnung der Gestalt

$\begin{displaymath} \left. \begin{array} {rcll} -\nabla \cdot (A \nabla u + bu) ... ...mbox{auf } \partial \Omega \setminus \Gamma,\end{array}\right\}\end{displaymath}$ (1)

wobei der Nichtglattheit der Daten des Problems eine besondere Bedeutung zukommt.

In (1) sind $\Omega \subset \IR^N$ ein beschränktes Gebiet und $\Gamma \subset \partial \Omega$ ein offenes Randstück, so daß $G = \Omega \cup \Gamma$ eine reguläre Menge im Sinne von Gröger [3] darstellt. Auf den Randstücken $\Gamma$ und $\partial \Omega \setminus \Gamma$ werden gemäß (1) inhomogene, gemischte Randbedingungen gestellt. Wir betrachten auf $\Omega$ bzw. $\Gamma$ definierte, beschränkte und meßbare Koeffizienten A, b, c, d und e, wobei A Werte in den positiv definiten $N \times N$ -Matrizen annimmt, b und c vektorwertige Größen in $\IR^N$ sowie d und e skalare Größen sind.

Als Hauptresultat konnte aufbauend auf Recke [4] und Troianiello [6], in Griepentrog, Recke [2] die Existenz einer Konstanten $N - 2 < \overline{\omega} < N$ gezeigt werden, so daß für alle Parameter $0 \le \omega < \overline{\omega}$ der zur schwachen Formulierung des Problems (1) zugehörige Operator ein Fredholm-Operator vom Index Null vom Sobolev-Campanato-Raum $W_{\circ}^{1,2,\omega}(G)$ nach $W^{-1,2,\omega}(G)$ ist, wobei die Konstante $\overline{\omega}$ lediglich von der Elliptizitätskonstante und von der Menge $G = \Omega \cup \Gamma$ abhängt. Darüber hinaus liegt eine lineare und stetige Abhängigkeit (im Sinne der Operatornorm) des Fredholm-Operators von den Koeffizienten A, b, c, d und e vor. Verwendet wurden hierbei die Bezeichnungen

$\begin{displaymath} W^{1,2,\omega}(\Omega) = \{ u \in W^{1,2}(\Omega): \nabla u \in {\frak L}^{2,\omega}(\Omega) \}\end{displaymath}$

sowie

$\begin{displaymath} W_{\circ}^{1,2,\omega}(G) = W^{1,2,\omega}(\Omega) \cap W_{\circ}^{1,2}(G)\end{displaymath}$

und $W^{-1,2,\omega}(G)$ für das Bild von $W_{\circ}^{1,2,\omega}(G)$ unter der Dualitätsabbildung des Raumes $W_{\circ}^{1,2}(G)$ .

Aufgrund der Fredholm-Eigenschaft ergibt sich insbesondere, daß die schwache Lösung zu Problem (1) - falls sie eindeutig bestimmt ist - im Sinne des Sobolev-Campanato-Raumes $W^{1,2,\omega}(\Omega)$ sowohl glatt von den zu folgenden Campanato-Räumen gehörenden rechten Seiten

$\begin{displaymath} f \in {\frak L}^{2,\omega}(\Omega;{\IR}^N) \mbox{ , } g \in ... ...a) \quad\mbox{und}\quad h \in {\frak L}^{2,\omega - 1}(\Gamma),\end{displaymath}$

(2)

als auch glatt von den Koeffizienten A, b, c, d und e im Sinne der jeweiligen $L^\infty$ -Norm abhängt.

Man beachte, daß im Falle $N - 2 < \omega < N$ der Sobolev-Campanato-Raum $W^{1,2,\omega}(\Omega)$ für $\alpha = (\omega - N + 2)/2$ stetig in den Hölder-Raum $C^{0,\alpha}(\overline{\Omega})$ eingebettet ist.

Es handelt sich im Falle N > 2 selbst für $\Gamma = \emptyset$ (reine Dirichlet-Randbedingungen) oder $\Gamma = \partial \Omega$ (rein natürliche Randbedingungen) um neue Ergebnisse. Die obigen Resultate ermöglichen in dieser Raumkonstellation interessante Anwendungen des Satzes über Implizite Funktionen auf quasilineare elliptische Randwertprobleme mit nichtglatten Daten (siehe Griepentrog [1] und Recke [5]). Im Falle N = 2 folgt die glatte Abhängigkeit (im Sinne der Hölder-Norm) der schwachen Lösungen zu Problem (1) von den Koeffizienten

$\begin{displaymath} f \in L^p(\Omega;{\IR}^N) \mbox{ , } g \in L^{p/2}(\Omega) \... ...ox{und}\quad h \in L^{p-1}(\Gamma) \quad\mbox{mit}\quad p \gt N\end{displaymath}$

aus den Resultaten von Gröger [3].

Abschließend sei noch bemerkt, daß sich die obigen Ergebnisse auch auf den Fall eines linearen elliptischen Systems, dessen Hauptteil einer Dreiecksgestalt nahekommt, verallgemeinern lassen (siehe Griepentrog, Recke [2]).

Projektliteratur:

J. A. GRIEPENTROG, An application of the Implicit Function Theorem to an energy model of the semiconductor theory, Z. Angew. Math. Mech., 79 (1999), pp. 43-51.
J. A. GRIEPENTROG, L. RECKE, Linear elliptic boundary value problems with non-smooth data: Normal solvability on Sobolev-Campanato spaces, WIAS-Preprint No. 446, 1998.
K. GRÖGER, A W^1,p-estimate for solutions to mixed boundary problems for second order elliptic differential equations, Math. Ann., 283 (1989), pp. 679-687.
L. RECKE, Solvability properties of linear elliptic boundary value problems with nonsmooth data, Preprint Nr. 94-3, Fachbereich Mathematik, Humboldt-Universität zu Berlin, 1994.
$\dito$ , Applications of the Implicit Function Theorem to quasi-linear elliptic boundary value problems with non-smooth data, Comm. Partial Differential Equations, 20 (1995), pp. 1457-1479.
G. M. TROIANIELLO, Elliptic Differential Equations and Obstacle Problems, Plenum Press, New York, London, 1987.