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Dimension hyperbolischer Maße - die Eckmann-Ruelle-Vermutung

Bearbeiter: J. Schmeling 

Kooperation: L. Barreira (Instituto Superior Técnico, Lissabon), Y. Pesin (Pennsylvania State University, Department of Mathematics, University Park), S. Troubetzkoy (University of Alabama at Birmingham, Department of Mathematics)

Förderung: Deutsche Akademie der Naturforscher Leopoldina

Beschreibung der Forschungsarbeit:

In diesem Projekt befassen wir uns mit dem lange Zeit offenen grundlegenden Problem der Existenz der punktweisen Dimension invarianter Maße. Dieses Problem wurde explizit von L.-S. Young auf ihrer Rede auf dem Internationalen Mathematikerkongreß 1994 in Zürich hervorgehoben und ist als Eckmann-Ruelle-Vermutung allgemein bekannt. Es kann auf folgende Weise formuliert werden. Sei M eine kompakte glatte Riemannsche Mannigfaltigkeit und ein -Diffeomorphismus mit einem invarianten Maß .

Der obere Grenzwert wird die punktweise Dimension von in X genannt. Die Existenz des Grenzwertes impliziert den grundlegenden Fakt, daß alle Dimensionscharakteristiken des Maßes übereinstimmen. Dieser gemeinsame Wert ist eine fundamentale Größe der fraktalen Struktur von . Damit spielt die Eckmann-Ruelle-Vermutung in der Dimensionstheorie eine analoge Rolle zum Satz von Shannon-McMillan-Breiman in der Entropietheorie.

Da hyperbolische Maße beim Studium physikalischer Modelle chaotischer Systeme mit fraktaler Struktur eine wesentliche Rolle spielen, kann man die Eckmann-Ruelle-Vermutung auch als Basis derartiger Studien betrachten.

Die Eckmann-Ruelle-Vermutung ist insofern scharf, daß man keine der Voraussetzungen abschwächen kann und bezieht sich somit auf die breitestmögliche Klasse von Maßen.

In [1] ist es L. Barreira, Y. Pesin und mir gelungen, die Eckmann-Ruelle-Vermutung in voller Allgemeinheit zu beweisen. Außerdem konnten S. Troubetzkoy und ich ein analoges Resultat für Endomorphismen erzielen [2].

Projektliteratur:

  1.   L. Barreira, Ya. Pesin, J. Schmeling, Dimension of hyperbolic measures - A proof of the Eckmann-Ruelle conjecture (announcement), ERA-AMS, 2 (1996), No. 1.
  2.   J. Schmeling, S. Troubetzkoy, On the existence of the pointwise dimension for regular hyperbolic invariant measures for endomorphisms, in Vorbereitung.



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Mon Feb 17 13:38:21 MET 1997