Stabilitäts- und Fehleranalysis von Randelementmethoden für Gebiete mit nicht glattem Rand (Trigonometrische Approximation)

Bearbeiter: J. Elschner

Kooperation: Y. Jeon (A Jou University, Korea), I. H. Sloan (The University of New South Wales, Sydney), E. Stephan (Universität Hannover)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Viele Randwertaufgaben der mathematischen Physik und Mechanik, insbesondere der Elastizitätstheorie, der Aero- und Hydrodynamik, des Elektromagnetismus und der Optik, lassen sich auf Integralgleichungen über dem Rand des betrachteten Gebietes zurückführen. Von großem praktischen Interesse in der diffraktiven Optik ist zum Beispiel das Beugungsproblem an optischen Gittern, das mittels Randintegralgleichungen für die Helmholtz-Gleichung modelliert werden kann; vgl. Projekt ,,Beugungseffektivitäten und optimales Design von periodischen optischen Gittern``. Bei der theoretischen Begründung und numerischen Realisierung von Näherungsverfahren (Randelementmethoden) für derartige Integralgleichungen gibt es besonders im Fall von Gebieten mit nicht glatten Rändern noch zahlreiche offene Fragen.

Bei der numerischen Lösung von Randintegralgleichungen auf glatten Kurven haben sich trigonometrische Approximationsverfahren als sehr effektiv erwiesen. Im Rahmen des Projekts wurden erstmalig optimal konvergente Kollokations- und Quadraturverfahren mit trigonometrischen Ansatzfunktionen für die klassischen Integralgleichungen der ebenen Potentialtheorie (Symmsche Integralgleichung, Integralgleichungssystem für das gemischte Problem) in Gebieten mit Ecken entwickelt [1], [2], [3]. Numerische Tests bestätigen die optimale Konvergenzordnung auch ohne zusätzliche Modifikation dieser Verfahren in der Nähe der Ecken, wie sie für den Stabilitätsbeweis in den genannten Arbeiten erforderlich war. Um einen ähnlich befriedigenden Stand der Konvergenzanalysis wie im Fall glatter Randkurven zu erhalten, wurde in letzter Zeit ein neuer Zugang zur Stabilität von Galerkin- und Kollokationsverfahren mit trigonometrischen Polynomen gefunden [4].

Projektliteratur:

1.   J. ELSCHNER, Y. JEON, I. H. SLOAN, E. P. STEPHAN, The collocation method for mixed boundary value problems on domains with curved polygonal boundaries, WIAS-Preprint No. 142, Berlin 1995.
2.   J. ELSCHNER, E. P. STEPHAN, A discrete collocation method for Symm's integral equation on curves with corners, WIAS-Preprint No. 143, Berlin 1995.
3.   Y. JEON, I. H. SLOAN, E. P. STEPHAN, J. ELSCHNER, Discrete qualocation methods for logarithmic-kernel integral equations on a piecewise smooth boundary, WIAS-Preprint No. 184, Berlin 1995.
4.   J. ELSCHNER, Trigonometric approximation of Mellin convolution equations, in Vorbereitung.