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Numerische Lösung schwach besetzter Systeme nichtlinearer Gleichungen

  Bearbeiter: H. Sandmann

Kooperation: U. Nowak (ZIB)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Bei der numerischen Lösung von Anfangswertaufgaben für Systeme nichtlinearer Algebro-Differentialgleichungen, z. B. aus der chemischen Prozeßsimulation und Verfahrenstechnik, sind große schwach besetzte nichtlineare Gleichungssysteme mit irregulär strukturierter Jacobi-Matrix zu lösen, um konsistente Anfangswerte zu gewinnen. Auch während der dynamischen Simulation bei Reinitialisierung des Prozesses an einer Unstetigkeitsstelle und schließlich bei der Bestimmung stationärer Werte sind Lösungen nichtlinearer Gleichungssyteme zu berechnen. Die Modellierung der verkoppelten Teile realer Anlagen und/oder Prozeßabläufe prägt F und der zugehörigen Jacobi-Matrix eine schwache Besetztheit und Teilsystem-Struktur ein. Außer diesen Struktureigenschaften sind für die Unbekannten restriktive Wertebereiche gegeben, wie positive Konzentrationen, Dichten u. a. m. Die durch die Strukturierung gegebene grob- und fein-granulare Parallelität der Aufgabe wurde bei einer Implementierung eines skalierbaren synchronen Algorithmus auf CRAY T3D berücksichtigt.

Das Lösungsverfahren kann zwar von einem zulässigen ausgehen, aber auch ein affin invariantes Newton-Verfahren muß von aus nicht notwendig konvergieren.

In diesem Fall müssen in einem ersten Schritt mit einem Suchverfahren Startwerte für ein modifiziertes Newton-Verfahren ermittelt werden. Hierbei werden sukzessiv die aufgrund der Modellierung stets unterbestimmten nichtlinearen Teilsysteme linearisiert. Die unterbestimmten linearen Gleichungssysteme werden unter Verwendung von Moore-Penrose-Pseudo-Inversen gelöst. Aus diesem Prozeß erhält man zulässige Werte für die in F linear gekoppelten Unbekannten und grobe Näherungen für die übrigen. Mit dieser Näherung wird mittels Block-Gauß-Seidel-Newton-Iterationsverfahren (jeder Block entspricht einem Teilsystem ) eine neue Näherungslösung für F = 0 bestimmt. Die Newton-Iteration für wird mit der aus gewonnenen Näherung gestartet und die Newton-Korrektur unter Verwendung von Pseudo-Inversen berechnet. Die Näherungslösung aus dem Block-Gauß-Seidel-Newton-Iterationsverfahren dient nun als Startwert für ein modifiziertes gedämpftes Newton-Verfahren für F = 0.

Der Lösungsprozeß wird durch den Umstand kompliziert, daß numerisch singuläre Jacobi-Matrizen nicht auszuschließen sind. Deshalb wurde das Newton-Verfahren mit einer Matrix-Analyse ausgestattet, die vor allem die schwache Besetztheit und teilsystemorientierte Strukturierung von F und der Jacobi-Matrix ausnutzt. Durch Ändern weniger Näherungslösungskomponenten, die die Singularität bewirken, läßt sich eine reguläre Jacobi-Matrix erhalten, wobei die schwache Besetztheit eine wesentliche Vorausssetzung ist, da sonst die durch Änderung gewisser Lösungskomponenten erzeugte neue Aufgabe der alten nicht mehr benachbart ist.



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Mon May 13 20:25:53 MET DST 1996