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Angewandte stochastische Analysis in Finanzwesen, Marketing und Sozialwissenschaften

Bearbeiter: H. Schurz

Kooperation: Karmeshu (Jawaharlal Nehru University, New Delhi), F. Delbaen (ETH, Zürich), U. Küchler (Humboldt-Universität, Berlin)

Förderung: SFB 373 ,, Quantifikation und Simulation ökonomischer Prozesse``

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Bei der Modellierung und Simulation von Finanzinstrumenten (Derivate, Optionen) spielt mehr und mehr das dynamische Verhalten von stochastischen Zinsraten und Zinsstrukturkurven eine entscheidende Rolle. Die Entwicklung und Erforschung von Zinsraten- und Preismodellen erfordert adäquate analytische und numerische Techniken und Simulationsstudien dieser Prozesse. Wir verbinden den Erkenntnisstand über die moderne Theorie zum qualitativen Verhalten stochastischer dynamischer Systeme mit der Leistungsfähigkeit stochastisch-numerischer Verfahren. Als Modellklasse untersuchen wir die in [4] vorgeschlagenen verallgemeinerten stochastischen Differentialgleichungen

zur Modellierung nichtnegativer Zinsraten mit deterministischen nichtnegativen Parametern und fixem stochastischen Kalkülparameter (0 entspricht dem Itô-Kalkül). Fast alle zeitstetigen Markovschen Zinsratenmodelle sind darin enthalten, z. B. die Modelle von Vasicek, Cox-Ingersoll-Ross, Dothan, Courtadon und Chan. Erste Resultate hinsichtlich strenger Existenz, Eindeutigkeit und fast sicherer Beschränktheit der Lösung konnten erzielt werden, siehe [4]. Dazu benutzten wir die Technik stochastischer Lyapunov-Funktionen und die Dynkins Formel. Adäquate numerische Lösungen dafür sind derzeit nur durch geeignete implizite Balance-Methoden (BIMs) konstruierbar. Es gelang, -Konvergenz und fast sichere numerische Beschränktheit ohne Zuhilfenahme von Projektionsmethoden zu verifizieren. Umfangreiche Simulationsstudien, die in [2], [3] und [5] für den Besselprozeß begonnen wurden, bestätigen diese Aussage. Das obige Modell zeigt eine große Vielfalt von qualitativen Eigenschaften (z. B. Markov pseudo switching), die eine enorme Anpassungsfähigkeit an reale Datensätze garantieren. Zum Beispiel gibt es eine einfache Teilklasse, die Nichtnegativität, zweiseitige Beschränktheit und zwei zeitweilig anziehende Levels besitzt. Ein qualitativ ähnliches Verhalten tritt im stochastischen Marketing auf. Das BASS Modell beschreibt, wie sich ein Produkt, eine neue Technologie, Idee, Neuigkeiten, Gerüchte im zu beobachtenden Medium (Markt) ausbreiten. Erstmals wurde in [1] ein entsprechendes stochastisches Modell zur Modellierung der Diffusion von Innovationen vorgestellt und simuliert. Es ist eine Verallgemeinerung des deterministischen BASS Modells unter Berücksichtigung von Parameterschwankungen und einer gewissen Ungewißheit im Markt/Medium. So wird angenommen, daß sich die Anzahl der Adoptionen durch die Itô Differentialgleichung

mit p>0 als Koeffizient der Innovation, q>0 als Koeffizient der Imitation und M>>1 als maximale Anzahl möglicher Adoptionen beschreiben läßt. In Analogie zu den obigen Problemen im Finanzwesen werden die analytische und numerische Lösung untersucht. Die mathematische Rechtfertigung findet sich in [6], Simulationsergebnisse dazu in [1] und [6]. Hauptergebnis ist die Erkenntnis, daß Ungewißheit in parametrischer oder in modellierender Form zu erheblichen Unterschieden im qualitativen Verhalten gegenüber dem deterministischen Modell führt. Zum Beispiel kann der ,,point of inflection'', der Punkt der höchsten Marktnachfrage, unter zufälligen Einflüssen deutlich früher erreicht werden. Dies dürfte eine wesentliche Information für die Praxis des Marketing sein. Aufgrund der Nichtlinearität des Modells sind weitere interessante Studien (wie Niveauüberschreitungen oder Persistenz) zu erwarten.

Projektliteratur:

  1. KARMESHU, V. B. LAL, H. SCHURZ, Simulation of stochastic innovation diffusion, Manuskript, WIAS, Berlin, 1995.
  2. U. KÜCHLER, N. HOFMANN, H. SCHURZ, Simulation of stochastic interest rates and term structures, Manuskript, Humboldt-Universität, Berlin, 1994.
  3. H. SCHURZ, Numerical regularization for SDEs: Construction of nonnegative solutions, WIAS-Preprint No. 160, Berlin, 1995, erscheint in: J. Dyn. Sys. Appl.
  4. H. SCHURZ, Regularity of stochastic interest rates, Manuskript, WIAS, 1995.
  5. H. SCHURZ, Construction of nonnegative numerical solution for SDEs: Explosions, life time and uniform boundedness, Discussion paper No. 40, SFB 373, Humboldt-Universität, Berlin, 1994.
  6. H. SCHURZ, Modelling, analysis and simulation of stochastic innovation diffusion, WIAS-Preprint No. 167, Berlin, 1995, erscheint in: Proc. ICIAM`95, ZAMM.



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Mon May 13 20:25:53 MET DST 1996