Lokal adaptive Methoden in der nichtparametrischen Statistik

Bearbeiter: M. Neumann, V. Spokoiny

Kooperation: E. Mammen (Humboldt--Universität Berlin), P. Hall (Australian National University, Canberra)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Seit dem Bekanntwerden der Arbeiten von Donoho und Johnstone [1] zu nichtlinearen Waveletschätzern sind lokal adaptive Methoden international von großem Interesse. In der idealisierten Situation mit unabhängigen, identisch normalverteilten Fehlern wurde dort die Nichtoptimalität von klassischen linearen Schätzern in Glattheitsklassen gezeigt, welche Funktionen mit besonders inhomogenen Glattheitseigenschaften zulassen.

Im Hinblick auf die Anwendbarkeit dieser Methoden in praktisch relevanten Kurvenschätzproblemen ist es von großem Interesse, diese Verfahren auf tatsächlich auftretende Situationen, wie z.B. Nichtnormalität der Fehler, zu übertragen. Dazu entstand eine Arbeit [2], in welcher die asymptotische Optimalität von Waveletschätzern für nahezu beliebige Fehlerverteilungen gezeigt wurde.

Eine wesentliche Eigenschaft der Waveletmethoden ist ihre Fähigkeit, den Grad der Glättung der jeweiligen lokalen Glattheit der zu schätzenden Funktion anzupassen. Die Frage, wie weit man bei dieser lokalen Adaptivität gehen kann, d.h. wie groß mindestens ein Intervall gewählt werden muß, um auf ihm den optimalen Grad der Glättung adaptiv wählen zu können, wurde in den Arbeiten [3] und [4] untersucht. Hierbei wurde ein völlig neuer Zugang zur Bewertung von Kurvenschätzern vorgeschlagen. Im Gegensatz zur herkömmlichen Theorie, in der einfach ein Minimaxschätzer in einer vorgegebenen Glattheitsklasse gesucht wird, wurde hier die Güte des Schätzers an den lokalen Glattheitseigenschaften der zu schätzenden Funktion gemessen.

Stimuliert durch Anforderungen im Rahmen des SFB 373 ,,Quantifikation und Simulation ökonomischer Prozesse`` wurden weiterhin Waveletmethoden für Problemsstellungen aus der Zeitreihenanalyse entwickelt. So entstand eine Arbeit zur Spektraldichteschätzung [5], in der zunächst die asymptotische Normalität der empirischen Waveletkoeffizienten und damit die Risikoäquivalenz zum Gaußschen Fall gezeigt wurde. Eine Arbeit zur Schätzung der zeitveränderlichen Koeffizienten in einem lokal stationären AR(p)-Modell [6] ist in Vorbereitung.

Eine weitere Möglichkeit, lokale Adaptivität zu erreichen, ist die Wahl einer lokalen Bandweite bei Kernschätzern oder bei den dazu verwandten lokal linearen Schätzern. In der Regression mit stark inhomogener Versuchsplandichte ist eine spezielle Wahl einer solchen Bandweite erforderlich; dieses Problem wurde in [7] untersucht. Förderung: DFG, SFB 373 ,,Quantifikation und Simulation ökonomischer Prozesse``

Projektliteratur:

1. D. Donoho, I. Johnstone: Minimax estimation via wavelet shrinkage. Technical Report No. 402, Department of Statistics, Stanford University.
2. M. Neumann, V. Spokoiny: On the efficiency of wavelet estimators under arbitrary error distributions, Discussion Paper 4/94, SFB 373, Humboldt Universität, Berlin, erscheint in Mathematical Methods of Statistics.
3. O. Lepskii, V. Spokoiny: Local adaptivity to inhomogeneous smoothness.1. Resolution Level, WIAS, Preprint No. 92, Berlin (1994), erscheint in Math. Methods of Statistics.
4. O. Lepskii, E. Mammen, V. Spokoiny: Optimal spatial adaptation to inhomogeneous smoothness: an approach based on kernel estimates with variable bandwidth selectors, Discussion Paper 1/94, SFB 373, Humboldt--Universität Berlin, submitted to Annals of Statistics.
5. M. Neumann: Spectral density estimation via nonlinear wavelet methods for stationary non-Gaussian time series, Statistics Research Report No. SRR 028-94, CMA, Australian National University, Canberra.
6. R. Dahlhaus, M. Neumann, R. v. Sachs: Nonlinear wavelet estimation of autoregression coefficients for locally stationary time series, Manuskript, in Vorbereitung.
7. P. Hall, J. S. Marron, M. Neumann, D. M. Titterington: On local linear smoothing when the design density is low, Manuscript, submitted to Annals of Statistics.