Wavelet--Methoden für Pseudodifferentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten

Bearbeiter: B. Kleemann, S. Prößdorf, A. Rathsfeld

Kooperation: W. Dahmen (RWTH Aachen), R. Schneider (TH Darmstadt), B.N. Khoromskij (Joint Institute for Nuclear Research, Dubna, Rußland)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Wavelets sind ein äußerst wirksames mathematisches Mittel, das in den letzten 8 -- 10 Jahren zahlreiche Anwendungen u.a. in der Signalanalyse (akustische oder optische Signale), Numerischen Analysis (schnelle Algorithmen) und Approximationstheorie (gute lokale Approximation von Funktionen, Konstruktion von Basen in verschiedensten Funktionenräumen) gefunden hat. Ziel des Projektes ist die Konvergenzanalysis von verallgemeinerten Petrov--Galerkin--Methoden mit Wavelets als Ansatz-- und Testfunktionen für eine möglichst große Klasse von Randintegralgleichungen und Pseudodifferentialgleichungen sowie die Entwicklung von (auf Kompressionsstrategien beruhenden) schnellen Algorithmen zur Lösung der diskretisierten Gleichungen.

Motiviert durch die Pionierarbeit [1] und aufbauend auf den in den beiden Vorjahren erzielten Stabilitäts-- und Konvergenzergebnissen sowie Kompressionstechniken für Petrov--Galerkin--Verfahren zur numerischen Lösung von elliptischen periodischen Pseudodifferentialgleichungen (siehe [2]--[5]) wurden im Berichtszeitraum folgende Ergebnisse erhalten:

1. Es wurden relevante Konzepte einer Multiskalen--Analysis auf n--dimensionalen glatten kompakten Mannigfaltigkeiten bereitgestellt, die eine effiziente und stabile Kompression der Steifigkeitsmatrizen bezüglich Wavelet--Basen und damit die schnelle Lösung der linearen Systeme bei Galerkin--Diskretisierungen für Pseudodifferentialgleichungen auf solchen Mannigfaltigkeiten ermöglichen ([6]). Verschiedene auf Randreduktion beruhende Strategien für die Konstruktion von asymptotisch quasi--optimalen Algorithmen zur Lösung elliptischer Randwertaufgaben im Innen-- oder Außengebiet zu einem Polyeder mit einer Komplexität der Ordnung und N die Anzahl der Freiheitsgrade auf dem Rand) wurden vorgeschlagen und analysiert ([7]).
2. Die a--priori Kompressionsstrategie aus [3] wurde auf die Integralgleichung 1. Art mit logarithmischem Differenzkern (Symmsche Integralgleichung mit Zusatzkernen) angewandt und weiter präzisiert. Diese Gleichung entsteht bei Randreduktion des äußeren Dirichletproblems für die Helmholtz--Gleichung mittels Einfachschichtpotential--Ansatz (Streuung von elektromagnetischen oder Schallwellen an Objekten in der Ebene).

   Die Diskretisierung erfolgte mittels stückweise linearer Kollokation. Durch die Wahl geeigneter Waveletbasen kann die Matrix auf einen schwach besetzten Anteil reduziert werden. Außerdem ermöglichen die Wavelets den Einsatz einfacher diagonaler Präkonditionierer. Numerische Tests zeigen, daß die Kompressionsstrategie so gewählt werden kann, daß bei kleinen Wellenzahlen die gleiche optimale Konvergenzordnung der Lösung erreicht wird wie ohne Kompression.

3. In [8] wurde ein Waveletalgorithmus zur Lösung der Doppelschichtpotentialgleichung über zweidimensionalen polygonalen Rändern entwickelt. Durch Benutzung einer Transformationstechnik werden trotz der Singularität der Lösung und des Integralkernes fast optimale Konvergenzordnungen erreicht. Die Kompression der Steifigkeitsmatrix und eine neue Strategie der Wahl von Quadraturformeln führen zu einer Beschleunigung und zur Reduktion der Speicherplatzanforderungen. Numerische Testrechnungen bestätigen die bedeutsame Senkung der Rechenzeit.

Förderung: DFG

Projektliteratur:

1. G. Beylkin, R. Coifman, V. Rokhlin: Fast wavelet transforms and numerical algorithms I. Comm. Pure and Appl. Math. 44, 141--183 (1991)
2. W. Dahmen, S. Prößdorf, R. Schneider: Wavelet approximation methods for pseudodifferential equations I: Stability and convergence. Math. Zeitschrift 215, 583--620 (1994)
3. W. Dahmen, S. Prößdorf, R. Schneider: Wavelet approximation methods for pseudodifferential equations II: Matrix compression and fast solution. Advances in Computational Mathematics, 2nd Issue, 1, 259--335 (1993)
4. W. Dahmen, S. Prößdorf, R. Schneider: Multiscale methods for pseudodifferential equations. Recent Advances in Wavelet Analysis (eds. L.L. Schumaker and G. Webb), Academic Press, 191--235 (1994)
5. W. Dahmen, B. Kleemann, S. Prößdorf, R. Schneider: A multiscale method for the double layer potential equation on a polyhedron. Advances in Computational Mathematics (eds. H.P. Dikshit and C.A. Micchelli), World Scientific, Singapore, New Jersey, London, Hong Kong, 15--57 (1994)
6. W. Dahmen, S. Prößdorf, R. Schneider: Multiscale methods for pseudodifferential equations on smooth closed manifolds. Wavelets: Theory, Algorithms, and Applications (eds. C.K. Chui, L. Montefusco, and L. Puccio) Academic Press (1994) (erscheint)
7. B.N. Khoromskij, S. Prößdorf: Fast BEM solvers on polygons based on coupling domain decompositions and wavelet approximations. (in Vorbereitung)
8. A. Rathsfeld: A wavelet algorithm for the solution of the double layer potential equation over polygonal boundaries. WIAS--Preprint Nr. 106 (1994)