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Seminar Numerische Mathematik / Numerical mathematics seminars
aktuelles Programm / current program 2003 |
Donnerstag, 18. 12. 2003, 14:00 Uhr
Prof. P. Morin (Universidad Nacional del Litoral, Argentina)
Finite element methods for surface diffusionAbstract:
Surface diffusion is a (4th order highly nonlinear) geometric driven motion of a surface with normal velocity proportional to the surface Laplacian of mean curvature. We will present two approaches to numerically solving this problem:
PARAMETRIC: We will present a novel variational formulation for parametric surfaces which is semi-implicit, requires no explicit parametrization, and yields a linear system of elliptic PDE to solve at each time step. We next develop a finite element method, propose a Schur complement approach to solve the resulting linear systems, and show several significant simulations, some with pinch-off in finite time. We introduce a mesh regularization algorithm, which helps prevent mesh distortion, and discuss the use of time and space adaptivity to handle multiscales.
GRAPHS: In the second part of the talk we will present a novel variational formulation for graphs and derive a priori error estimates for a time-continuous finite element discretization. We will also introduce a semi-implicit time discretization and a Schur complement approach to solve the resulting fully discrete, linear systems. After computational verification of the orders of convergence for polynomial degrees 1 and 2, we will show several simulations in 1d and 2d with and without forcing which explore the smoothing effect of surface diffusion as well as the onset of singularities in finite time, such as infinite slopes and cracks.
Donnerstag, 11. 12. 2003, 14:00 Uhr
Alexander Linke (DFG-Forschungszentrum, FZT 86)
Einführendes Tutorial: Templates und Scientific ComputingAbstract:
Template-Konstruktionen in C++ haben neuartige Programmiertechniken ermöglicht, die im ursprünglichen Design von C++ weder erkannt noch beabsichtigt waren. Der C++-Programmier kann neben klassischem Code, der zur Laufzeit des Programms ausgewertet wird, zusätzlich Code schreiben, der zur Compilezeit vom Compiler interpretiert wird. Insbesondere erlauben C++-Templates ein programmierbares, gesteuertes Inlining. Dies erlaubt es, ein Manko objektorientierbarer Programmiersprachen wenigstens teilweise zu lösen: Klassische objektorientierte Sprachen wie C++ bieten elegante Möglichkeiten, um abstrakte Datentypen (ADT) wie Vektoren oder Matrizen zu definieren und zu verwalten. Mittels Operator-Überladen kann man im Prinzip sogar ganze neue Programmiersprachen definieren, die mit ADTs arbeiten. Dadurch ist man in der Lage, leichter lesbare Programme zu schreiben. Operator-Überladen ist jedoch ineffizient und daher für numerische Anwendungen unbrauchbar. Templates-Techniken wie Expression-Templates können hier helfen. Der Vortrag möchte eine einführendes Tutorial in Techniken wie Template-Metaprogramming und Expression-Templates geben, und hat insbesondere die Entwicklung von FEM-Programmen im Auge. Als Beispiel aus der Praxis wird die FEM-Bibliothek ParEXPDE vorgestellt. Insbesondere wird auf die Möglichkeiten automatischer Parallelisierung und Vektorisierung eingegangen.
Donnerstag, 27. 11. 2003, 14:00 Uhr
Hugo Silva (GKSS-Forschungszentrum, Geesthacht)
Membrane development for the DMFC: characterisation and modellingAbstract:
The development of membrane materials fulfilling the requirements of DMFC application is a Herculean task being carried out by a considerable number of researchers worldwide. New materials developed in our labs are characterised in terms of their chemical, physical and electrical properties. While such characterisation methods provide information on key properties of the membrane (even if under conditions other than those found in a real fuel cell), test bench testing provides the overall performance of the new material, resulting from a mix of factors. From the experience gained in the characterisation procedure a model was developed. This aims at filling the gap between standard characterisation procedures and real DMFC performance. The focus of this model is therefore on the membrane, where parameters provided from the several characterisation methods are used to predict the membrane's behaviour. Mass transport in the membrane is described by a combination of fickean diffusion and electro-osmotic drag. Proton transport is determined by the proton conductivity of the material, as determined by impedance spectroscopy. Methanol transport through the membrane and resulting oxidation in the cathode chamber is considered. A series of membranes was characterised, ranging from Nafion (as standard) to sulfonated poly-ether-ether-ketone (unmodified and inorganically modified) and novel polyimides at several operational regimes, as to take into account a wide range of factors influencing membrane performance.
Donnerstag, 30. 10. 2003, 16:00 Uhr
Dr. Neela Nataraj (Indian Institutes of Technology Mumbai, Indien)
On a mixed finite element method for IV order elliptic source/eigenvalue problemsAbstract:
The study of bending and vibration of plates is of interest to a lot of researchers. An important class of bending and vibration of plate problems are defined by fourth order elliptic equations with constant/variable coefficients. The biharmonic case is the most popular particular case of the general fourth order equation. A mixed method for the general fourth order source and eigenvalue problem will be discussed.The method is applicable to the bending and vibration analysis of clamped biharmonic/isotropic/orthotropic/anisotropic plates. Implementation procedures and a parallelisation strategy will be also presented.
Donnerstag, 30. 10. 2003, 14:00 Uhr
Prof. Dr. Günter Bärwolff (Technische Universität Berlin, Institut für Mathematik)
Optimization of a thermal coupled fluid flow problem - algorithms and numerical resultsAbstract:
Based on the Boussinesq-approximation mathematical models for the description of crystal melts, especially the Czochralski growth method and the zone melting technique will be discussed. Due to the technological properties of the melting equipment free and forced convection are of interest. The numerical solution of the initial boundary value problem is done by a finite volume method in space and second order methods in time (CN, Euler backward, Adams-Bashforth). The solution method will be validated by the consideration of a special benchmark for crystal growth of Wheeler. Some parameter studies of the zone melting technique will be shown and compared to experimental results of crystal growth engineers. For the minimization of interesting functionals an optimization problem is formulated and an adjoint problem will be constructed by the Lagrange parameter technique. An iteration method for the solution of the full optimization problem will be demonstrated and some concrete optimization problems for the Czochralski and zone melting technique will be solved and discussed.
Donnerstag, 18. 09. 2003, 14:00 Uhr
Dr. Petr Knobloch (Charles University, Institute of Numerical Mathematics)
On Korn's first inequality for nonconforming finite elementsAbstract:
It is well--known that weak formulations of certain problems from linear elasticity and fluid dynamics, in which forces are prescribed on a part of the boundary of the computational domain, contain a bilinear form whose coerciveness is guaranteed by the Korn first inequality. If such problems are discretized using the finite element method, convergence results are usually proved using a discrete analogue of the Korn inequality which has to hold uniformly with respect to the discretization parameter h. In the present talk, we discuss the validity of the Korn first inequality for nonconforming finite elements. Particularly, for elements of first order approximation properties, we show that the Korn inequality does not hold uniformly with respect to the discretization parameter h and we clarify the dependence of the constant in the Korn inequality on h. Then we use the first order nonconforming elements for approximating the velocity in a discretization of the Stokes equations with boundary conditions involving surface forces. Applying the result on the Korn inequality, we show that, for quadrilateral elements, convergence results can be proved despite the fact that the Korn inequality does not hold uniformly. On the contrary, for first order triangular elements, the discrete solutions do not converge to the exact solution, even if an analogous Korn inequality holds as in the quadrilateral case.
Dienstag, 02. 09. 2003, 09:00 Uhr
Prof. Carsten Carstensen (Vienna University of Technology, Institute for Applied Mathematics and Numerical Analysis)
Adaptive finite elements for relaxed methods (FERM) in computational microstructuresAbstract:
Nonconvex minimisation problems are encountered in many applications such as phase transitions in solids (1) or liquids but also in optimal design tasks (2) or micromagnetism (3). In contrast to rubber-type elastic materials and many other variational problems in continuum mechanics, the minimal energy may be not attained. In the sense of (Sobolev) functions, the non-rank-one convex minimisation problem (M) is ill-posed: As illustrated in the introduction of FERM, the gradients of infimising sequences are enforced to develop finer and finer oscillations called microstructures. Some macroscopic or effective quantities, however, are well-posed and the target of an efficient numerical treatment. The presentation proposes adaptive mesh-refining algorithms for the finite element method for the effective equations (R), i.e. the macroscopic problem obtained from relaxation theory. For some class of convexified model problems, a~priori and a~posteriori error control is available with an reliability-efficiency gap. Nevertheless, convergence of some adaptive finite element schemes is guaranteed. Applications involve model situations for (1), (2), and (3) where the relaxation is provided by a simple convexification.
Donnerstag, 17. 07. 2003, 14:00 Uhr
Jürgen Mehnert (Universität Freiburg, Institut für Angewandte Mathematik)
Fehlerabschätzungen für die Navier-Stokes-Gleichungen mit freiem KapillarrandAbstract:
Die Navier-Stokes-Gleichungen mit freiem Kapillarrand werden im Ort durch Finite Elemente diskretisiert. Für die Geschwindigkeit und den Druck wird dabei das MINI Element verwendet, für den freien Rand, der hier als Graph dargestellt wird, lineare Elemente. Zunächst wird die Stabilität des zugrundeliegenden semidiskreten Schemas untersucht. Darüberhinaus kann unter der Annahme der Existenz einer hinreichend glatten klassischen Lösung eine Fehlerabschätzung für das Geschwindigkeitsfeld und den freien Rand bewiesen werden. Dabei kommen Techniken zum Einsatz, die für die Fehlerabschätzungen des Mean Curvature Flows entwickelt wurden. Die grundlegende Idee besteht darin, in den geometrischen Größen zu arbeiten. So können gewisse geometrische Identitäten für Einheitsvektoren Gewinn bringend ausgenutzt werden.
Donnerstag, 10. 07. 2003, 15:00 Uhr
Dr. V. John (Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg)
Eddy Simulation turbulenter inkompressibler StrömungenAbstract:
Die Large Eddy Simulation (LES) ist gegenwärtig eine vielversprechende Herangehensweise zur Simulation turbulenter Strömungen. Bei der LES versucht man, nur die großen Strukturen einer turbulenten Strömung möglichst genau zu berechnen. Die raumgemittelten Navier-Stokes-Gleichungen sind die Grundgleichungen der LES. Zunächst werden analytische Untersuchungen zum so genannten Vertauschungsfehler, der bei der Herleitung der raumgemittelten Navier-Stokes-Gleichungen auf einem beschränkten Gebiet entsteht, vorgestellt. Um Gleichungen für die großen Strömungsstrukturen aus den raumgemittelten Navier-Stokes-Gleichungen zu erhalten, ist eine Modellierung des so genannten Reynolds-Spannungstensors nötig. Es werden Modelle präsentiert, die auf einer Approximation der Filterfunktion im Fourier-Raum beruhen. Die Diskretisierung der so erhaltenen Modelle mittels impliziter Verfahren in der Zeit und finiter Elemente im Raum wird beschrieben. Für das Smagorinsky-Modell wird eine Finite-Element-Fehlerabschätzung angegeben. Die Lösung der diskreten Probleme erfordert die Lösung großer Sattelpunktprobleme. Es wird das dafür verwendete Mehrgitterverfahren vorgestellt, welches auf den unteren Ebenen der Gitterhierarchie stabile nichtkonforme Finite-Elemente-Diskretisierungen niedrigster Ordnung nutzt. Abschließend wird eine numerische Studie der betrachteten LES-Modelle präsentiert.
Donnerstag, 10. 07. 2003, 14:00 Uhr
Prof. K. Deckelnick (Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg)
An existence and uniqueness result for a phase-field model of diffusion-induced grain boundary motionAbstract:
We consider a phase-field model for diffusion-induced grain boundary motion. The model couples a parabolic variational inequality to a degenerate diffusion equation. Using a regularization technique, we prove an existence theorem for the resulting system. We also obtain a uniqueness result, provided the solution has some additional regularity.
Donnerstag, 05. 06. 2003, 14:00 Uhr
Prof. J.H. Pyo (University of Maryland, USA)
A finite element Gauge-Uzawa method for the evolution Navier-Stokes equationsAbstract:
The Navier-Stokes of incompressible fluids are still a computational challenge. The numerical difficulty arises from the incompressibility constraint, which requires a compatibility condition (discrete inf-sup) between the finite element spaces for velocity and pressure. Several projection methods have been introduced for time discretization to circumvent the incompressibility constraint, but suffer from boundary layers,. They are either numerical or due to non-physical boundary conditions on pressure. We introduce a first order gauge-Uzawa method for time discretization coupled with a stable finite elements method for space discretization. The method is unconditionally stable, consists of d+1 Poisson solvers per time steps, and does not exhibit pronounced boundary layer effects. We prove error estimates for both velocity and pressure under realistic regularity conditions via a variational approach, and illustrate the perofmance with several numerical experiments. This work is joint with R.H. Nochetto.
Dienstag, 20. 05. 2003 bis Dienstag, 27. 05. 2003
Dr. R. Eymard (Université de Marne-la-Vallée)
Some features of the convergence study of finite volume methodsAbstract:
Finite volume methods are extensively used in the engineering background to find approximate solutions of partial differential equations, in complex settings involving coupled phenomena. Four lectures will be devoted to a mathematical analysis of some features of these methods.Dienstag, 20.5.2003, 14:00 Uhr
I. Convergence / error estimate of finite volume methods for elliptic problems
The first lecture will concern some elliptic problems, which are involved in many physical areas. After a short comparison with the finite element method, the discrete tools are given (these tools are the basic ones for the four lectures). The analogy with continuous tools is then used in order to exhibit some compactness properties. Then an error estimate is derived and some open problems are discussed.Donnerstag, 22.5.2003, 14:00 Uhr
II. Nonlinear parabolic/hyperbolic problems; the role of uniqueness theorems
The second lecture is focused on nonlinear hyperbolic and parabolic problems. The knowledge on the convergence of discrete methods for nonlinear hyperbolic problems has mainly progressed using the works of Krushkov and Di Perna, who have respectively proven the uniqueness of an entropy solution and of an entropy Young's measure solution. As a consequence, the properties which are required for the study of the convergence are much less important than that which are needed for strong BV compactness properties. In particular, weak BV inequalities are enough to yield convergence. Using Carrillo's works about entropy solutions of nonlinear parabolic problems, the adaptation of Young's measure solution in this case is presented, with the same facilities for the study of the convergence of the scheme. The problem of non homogeneous boundary conditions is then discussed.Freitag, 23.5.2003, 10:00 Uhr
III. Two coupled problems (two-phase flow in porous media, diffusion-reaction)
The third lecture will concern two coupled problems. The first one is the two-phase flow in porous media problem, for which finite volume methods are widely used in the petroleum engineering setting. The mathematical properties of finite volume schemes are discussed, considering a mathematical approach and an engineering scheme. The second coupled problem is a class of reaction-diffusion problems, such as those which arise in the nuclear waste storage. The resulting free boundary problems are shown to be handled by finite volume schemes.Dienstag, 27.5.2003, 10:00 Uhr
IV. Finite volume methods for incompressible Navier-Stokes equations
The last lecture will be focused on some finite volume methods for Navier-Stokes incompressible equations. Such methods are frequently used on rectangular grids, sometimes on triangular grids. Some tools for the study of their convergence will be discussed, and the convergence of a particular finite volume method on general meshes (in 2D) will be studied, for a centered scheme and an upstream weighting scheme.
Donnerstag, 15. 05. 2003, 14:00 Uhr
Dr. E. Zienicke (Technische Universität Ilmenau)
A Shallow Water Model for the Liquid Metal PinchAbstract:
The pinch instability for a cylindrical jet of liquid metal passed through by an axial electrical current is investigated. Besides the pinch effect originating from surface tension the Lorentz force, created by the axial current density and the corresponding azimuthal magnetic field, causes an electromagnetic pinch effect. This effect has drawn attention in electrical engineering, because it can be used in the construction of liquid metal current limiters with self-healing properties. In this paper a simple model is derived using the shallow water approximation: the equations describing the fullsystem are reduced to two one-dimensional evolution equatons for the axial velocity and the radius of the jet. A stability analysis for this reduced system is carried out yielding critical current density and the growth rate for the instability. To investigate the nonlinear behaviour of the pinch instability for finite perturbations simulations for the shallow water model are performed.
Donnerstag, 13. 03. 2003, 14:00 Uhr
Prof. H. J. Pesch (Universität Bayreuth)
Numerische Simulation einer Schmelzkarbonat-Brennstoffzelle und ihre SteuerungAbstract:
Stationäre Schmelzkarbonat-Brennstoffzellen (MCFC) sind umweltfreundliche Energieproduzenten mit vielfältigen Nutzungsmöglichkeiten. Die Leistungsfähigkeit und Lebensdauer eines Brennstoffzellenstapels hängt stark von seiner Betriebstemperatur ab. Wesentliches Ziel bei der Steuerung dieser Systeme ist die Vermeidung von so genannten hot spots, die zu Materialermüdung bzw. -verschleiß führen können. Auf der Basis eines detaillierten ersten Modells einer MCFC von Heidebrecht und Sundmacher werden für das zugrundliegende System von bis zu 24 örtlich (noch) eindimensionalen partiell differential-algebraischen Gleichungen (PDAE) mit hyperbolischen, parabolischen und Integral-Bestandteilen numerische Ergebnisse vorgestellt. Die Simulationsergebnisse wurden mit dem Programmpaket EASYFIT von Schittkowski erzielt, welches auch die Parameteridentifikation erlaubt. Ferner werden die für die Güte der Einschätzung der numerischen Resultate wichtigen Indizes des PDAE-Systems diskutiert und auf zukünftige Steuerungsmöglichkeiten, insbesondere beim Hoch- und Runterfahren bzw. beim Lastwechsel, eingegangen sowie Methoden der fast-optimalen Echtzeitsteuerung diskutiert. Die Resultate wurden im Rahmen eines kürzlich angelaufenen BMBF-Projektes erzielt, an dem neben dem Lehrstuhl für Ingenieurmathematik, Universität Bayreuth, der Lehrstuhl für Systemverfahrenstechnik, Universität Magdeburg, das Max-Planck-Institut für Dynamik komplexer technischer Systeme, die IPF-Heizkraftwerksbetriebsgesellschaft mbH, alle Magdeburg, und die MTU Friedrichshafen GmbH, München, beteiligt sind. Siehe: http://www.uni-bayreuth.de/departments/ingenieurmathematik/FORSCHUNG/projekte.html
Donnerstag, 13. 02. 2003, 14:00 Uhr
G. Matthies (Universität Magdeburg)
Numerische Simulation des Verhaltens von magnetischen FlüssigkeitenAbstract:
Magnetische Fl¨ssigkeiten (oder Ferrofluide) sind komplexe Fluide, bei denen sich einige physikalische Eigenschaften mit Hilfe eines äußeren Magnetfeldes ändern lassen. Ein interessantes Phänomen ist die so genannte Rosensweig- oder Normalfeld-Instabilität, bei der senkrecht zu einer glatten und horizontalen Oberfläche ein Magnetfeld angelegt wird. Überschreitet die Magnetfeldstärke einen kritischen Wert, dann verformt sich die Grenzfläche zwischen Ferrofluid und Luft in ein regelmäßiges Muster von Stacheln.
Dieses Phänomen lässt sich mit Hilfe eines gekoppelten Systems von nichtlinearen, partiellen Differentialgleichungen beschreiben. Das Gesamtproblem wird iterativ entkoppelt und die Teilprobleme werden mit Hilfe von Finite-Elemente-Methoden gelöst. Für die Young-Laplace-Gleichung auf der freien Oberfläche wird eine Fehlerabschätzung bewiesen.
Donnerstag, 06. 02. 2003, 14:00 Uhr
Dr. H. Emmerich (Universität Dortmund)
Phasenfeldsimulationen von Morphologien an verspannten epitaktischen OberflächenAbstract:
Für die Modellierung und Simulation epitaktischen Wachstums ist die Berücksichtigung von Spannungszuständen von besonderer Bedeutung, da sich diese in der Heteroepitaxie inherent durch die unterschiedlichen atomaren Gitterabstände der involvierten Spezies einstellen. In diesem Falle erlaubt die Phasenfeldmodellierung numerisch handhabbare Modelle für den Wachstumsprozess abzuleiten. Im Vortrag wird eine entsprechende Modellableitung ebenso wie ihre numerische Realisierung vorgestellt und im Vergleich zu Experimenten an Ge_x Si_{1-x} Oberflächen diskutiert.
Donnerstag, 23. 01. 2003, 14:00 Uhr
F. Meier (Universität Stuttgart)
Experimentelle Analyse des Betriebsverhaltens von Direktmethanol-Brennstoffzellen (DMFC)Abstract:
Direktmethanol-Brennstoffzellen stellen eine interessante Alternative zu H2-Brennstoffzellen und Akkus dar. Aufgrund von Materialproblemen sind sie momentan jedoch noch weit von ihrer theoretisch möglichen Leistung entfernt. Das Leistungsverhalten von Brennstoffzellen wird üblicherweise durch die sog. Strom-Spannungskennlinie wiedergegeben. Diese beschreibt jedoch nur das globale Verhalten und liefert keine Informationen über die einzelnen Verlustquellen. Am Institut für Chemische Verfahrenstechnik der Universität Stuttgart wird das Betriebsverhalten der DMFC mit Hilfe unterschiedlicher experimenteller Methoden detaillierter untersucht. Einen Schwerpunkt bildet dabei die Bestimmung der Wasser- und Methanolfüsse von der Anode durch die Membran zur Kathode. In dem Vortrag werden Ergebnisse dieser Untersuchungen vorgestellt. Sie liefern eine wichtige Grundlage für Modellierung und Simulation der DMFC und die Weiterentwicklung ihrer einzelnen Komponenten.Donnerstag, 23. 01. 2003, 15:00 Uhr
Dr. K. Richau (GKSS-Forschungszentrum, Teltow)
Conditioning, conductivity and permselectivity of free standing polymer membranes developed for DMFC applicationsAbstract:
Summary: The very challenge for electrochemical characterization in the case of free standing polymer electrolyte fuel cell membranes is the low specific resistance of the polymer required for such applications, which in turn makes resistance measurements a non-trivial problem. We investigate the different possibilities to characterize such membranes. The present part of our work deals with the adequate conditioning and equilibration of membrane samples, with the measurement of the conductivity and with the determination of apparent transport numbers in the membrane. The usefulness of the respective leaching investigations, impedance spectroscopy measurements and concentration potential measurements for the case of membranes made from sulfonated poly(phenylene oxide) (degree of sulfonation DS from 7% up to 40%) is discussed. The main results are: 1. Leaching out of ionogenic species from the membrane is a general problem in DMFC applications, it increases with increasing DS. Criteria concerning equilibrium and steady state, to be fulfilled before starting electrochemical investigations, are deduced. 2. Obeying these criteria, a linear relationship between DS and specific conductivity in H2SO4 is obtained. Useful membranes with half the areal resistance of Nafion 117 are identified at moderate DS. The specific conductivity of Nafion 117 membranes is found in reasonable agreement with literature data. 3. Measurements of the transport numbers of protons helps to identify an optimum DS with respect to conductivity and swelling. 4. An analysis of the whole impedance spectrum enabled us to describe the membrane itself in terms of an equivalent circuit. Its structure depends on the DS of the membrane. From the nature of the elements of the equivalent circuit and from their value in dependence on DS, indications concerning the inhomogeneity of the membrane are deduced. 5. From the results of streaming potential investigations we can conclude, that the inhomogeneity is caused by an low conducting hydrophobic surface layer, detectable at low DS only.