Probabilistische Lösung partieller Differentialgleichungen und stochastische Resonanz

Bearbeiter: G. N. Milstein  

Kooperation: M. V. Tretjakov (Ural-Universität Jekaterinburg, Rußland)

Förderung: Alexander von Humboldt-Stiftung

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Die bekannten Algorithmen zur numerischen Lösung von stochastischen Differentialgleichungen (SDG) basieren auf Zeitdiskretisationen. Zur approximativen Lösung von Randwertproblemen für partielle Differentialgleichungen in beschränkten Gebieten sind jedoch neue Methoden erforderlich, die Raumdiskretisierungen verwenden.

In [1] werden Randwertaufgaben für elliptische Differentialgleichungen gelöst. Für deren numerische Lösung werden spezielle Methoden der schwachen Approximation entwickelt, die im Hinblick auf die Behandlung partieller Differentialgleichungen durch Monte-Carlo-Methoden ausreichend sind. Spezielle Methoden zur starken Approximation von räumlichen Irrfahrten werden in [2] betrachtet. Alle diese Algorithmen basieren auf der Konstruktion geeigneter Markovketten. Untersucht werden Fragen der Konvergenz, der Approximationsgüte und der numerischen Komplexität dieser Verfahren.

Die Approximation von raumzeitlichen Irrfahrten ist notwendig für starke Methoden der numerischen Lösung von SDG in beschränkten Gebieten. Sie ist ebenfalls erforderlich für die Modellierung der Austrittszeit von zufälligen Trajektorien von SDG in beschränkten Gebieten. In [3] ist es gelungen, die parabolische Diffusion durch zufällige Irrfahrten auf Grenzen von kleinen Hyperrechtecken zu approximieren. Die Arbeit [4] behandelt die Entwicklung stochastischer numerischer Methoden für nichtlineare parabolische partielle Differentialgleichungen.

In [5] wird ein neues Verfahren für die numerische Modellierung von Systemen von SDG entwickelt, die mit stochastischer Resonanz zusammenhängen. Das Phänomen der stochastischen Resonanz im engeren Sinne entsteht als Ergebnis des Zusammenspiels zwischen kleinem Rauschen und periodischen Kräften in bistabilen Systemen. Im weiteren Sinne bezeichnet stochastische Resonanz einen umfangreichen Kreis von Erscheinungen, bei denen eine gewisse Charakteristik eines physikalischen Prozesses extrem abhängig von der Intensität des Rauschens ist. Untersuchungen dieser Abhängigkeit erfordern eine Langzeitmodellierung von Systemen von SDG. Die Arbeit [5] basiert wesentlich auf den Ergebnissen von [6] und [7].

Zur Stabilität von Gleichgewichtszuständen unter zufälligen Störungen existiert eine umfangreiche Literatur. Wichtige Ergebnisse auf diesem Gebiet hängen mit den Begriffen des Lyapunov-Exponenten (Khasminskii), des Lyapunov-Momentexponenten (Arnold), der großen Abweichungen (Baxendale) und des Stabilitätsindex (Arnold-Khasminskii) zusammen. Diese Begiffe werden in [8] - [10] auf die Stabilität von invarianten Mannigfaltigkeiten übertragen.

  

Projektliteratur:

1.   G. N. MILSTEIN, Weak approximation of a diffusion process in a bounded domain, Stochastics Stochastics Reports, 62 (1997), pp. 147-200.
2.   , On the mean-square approximation of a diffusion process in a bounded domain, WIAS-Preprint No. 347 (1997).
3.   G. N. MILSTEIN, M. V. TRETYAKOV, Space-time random walk for stochastic differential equations in a bounded domain, WIAS-Preprint No. 352 (1997).
4.   G. N. MILSTEIN, The probability approach to numerical solution of nonlinear parabolic equations, WIAS-Preprint No. 380 (1997).
5.   M. V. TRETYAKOV, Numerical studies of stochastic resonance, WIAS-Preprint No. 322 (1997).
6.   G. N. MILSTEIN, M. V. TRETYAKOV, Mean-square numerical methods for stochastic differential equations with small noises, SIAM J. Sci. Comput., 18 (1997), No. 4, pp. 1067-1087.
7.   , Numerical methods in the weak sense for stochastic differential equations with small noise, SIAM J. Numer. Anal., 34 (1997), No. 6, pp. 2142-2167.
8.   G. N. MILSTEIN, Stability index for invariant manifolds of stochastic systems, Random Comput. Dynamics, 5 (1997), No. 4.
9.   , Stability index for orbits with nonvanishing diffusion, WIAS-Preprint No. 359 (1997).
10.   , Orbital stability index for nonlinear stochastic systems, The 8th International Colloquium on Differential Equations, Plovdiv, Bulgarien, 18. - 23. August, 1997.