Schallwellen und Stoßwellen in porösen Stoffen

Bearbeiter: K. Wilmanski  

Kooperation: I. Edelman (AdWR, Moskau, Rußland), T. Ruggeri (Universität Bologna, Italien), F. Ueberle (Dornier Medizintechnik, Germering)

Beschreibung der Forschungsarbeit: Die Ausbreitung der thermomechanischen Wellen in porösen Stoffen ist durch Anwendungen in zerstörungsfreien Prüfverfahren, medizinischen Diagnostik- und Therapiemethoden, Seismik und Bodenuntersuchungen durch Schwingungen und Sprengungen motiviert. Im Rahmen der Theorie der Schallwellen in porösen Körpern wurde das eigene zweikomponentige Modell mit Diffusion und Porositätsänderung untersucht. Die Dispersionsrelation für lineare Wellen ergab dabei

$$\left(\omega^2 - k^{*2} - i \pi \omega - \varphi \beta k^{*2... ...phi \beta}{\rho^F_0} k^{*2} \frac{i\omega}{1+i\omega}\right) +$$

$$+ \frac{1}{\rho^F_0} \left(i \pi \omega + \varphi \beta k^{*2} \frac{i\omega}{1+i\omega}\right)^2 =0.$$

Hier ist $\omega$ die dimensionslose Frequenz der monochromatischen Welle, k^* bezeichnet die (komplexe) Wellenzahl, U^F und U^S sind die Ausbreitungsgeschwindigkeiten der longitudinalen Wellen im Fluid und im Skelett, $\rho^F_0$ bezeichnet die Anfangsmassendichte des Fluids. Die Konstanten $\pi$, $\varphi$, $\beta$ beschreiben Kopplungseffekte in dem neuen Modell. Diese Konstanten wurden aus in der Literatur angegebenen experimentellen Daten für mehrere Stoffe gewonnen. Die Bestimmung der Materialkonstanten für solche Stoffe, die besonders in der medizinischen Anwendung von großer Bedeutung sind, werden weiter untersucht.

Die Dispersionsrelation wurde gelöst und sowohl die Ausbreitungsgeschwindigkeiten als auch die Dämpfung der monochromatischen Wellen wurde für verschiedene Materialkonstanten analysiert. Es wurde festgestellt, daß das Modell drei Moden der Schallwellen beschreibt. Die übliche longitudinale Welle P1 und die Scherwelle S werden schon seit langer Zeit in der Medizin benutzt (z. B. Ultraschalldiagnostik). Die zweite longitudinale Welle P2, die auch experimentell schon seit längerer Zeit bekannt ist, wird bis jetzt nicht angewandt. Mit Hilfe der erzielten theoretischen Ergebnisse läßt sich vorhersagen, daß die P2-Welle eine große diagnostische Bedeutung haben kann. Wegen ihrer hohen Dämpfung ist eine geringe Modifikation der Ultraschallgeräte notwendig. Nach der ersten Reaktion der praktizierenden Ärzte kann diese Anwendung besonders wichtig in Mikrosonden bei Herztransplantationen sein.

Die Forschung auf dem Gebiet der Stoßwellen in porösen Körpern ist hauptsächlich durch die Anwendung in Lithotripsie und Orthopädie motiviert. Die in diesem Jahr abgeschlossene Aufgabe betrifft die Untersuchung der Möglichkeit der Entstehung von Stoßwellen in porösen Körpern in Abhängigkeit von der Amplitude (Stärke) der Schallwellen. In der Arbeit auf diesem Gebiet wurde angenommen, daß die Eigenschaften des Skeletts linear sind und die für das Wachstum der Stoßwellen notwendige Nichtlinearität in dem Stoffgesetz des Fluids vorhanden ist. Diese Bedingungen sind nur näherungsweise in der Biomechanik erfüllt. Für die Werte der Materialparameter, die typisch für biologische Gewebe sind, wurde gefunden, daß die Stoßwellen tatsächlich nach realistischen Zeiten wachsen können. Diese kritische Zeit ist durch die Formel gegeben

$$t_c = -\frac{1}{\Gamma_2} \ln \left( 1-\frac{\Gamma_2}{{\bf a}_0 \Gamma_1}\right), \qquad \frac{\Gamma_2}{\Gamma_1} \gt 0,$$

wo ${\bf a}_0$ die Anfangsamplitude der Störung bezeichnet. Die Koeffizienten $\Gamma_1$, $\Gamma_2$ sind explizit von Materialeigenschaften abhängig. Offensichtlich ist das Wachstum der Stoßwellen nur für genügend große Amplituden möglich.

Die Arbeit enthält auch die Rankine-Hugoniot Bedingungen für zweikomponentige poröse Körper, die die Konstruktion der schwachen Lösungen der Feldgleichungen ermöglichen. Diese Lösungen werden weiter erforscht. Die wichtige Frage nach den Auswahlkriterien für Stoßwellen, die zur Eindeutigkeit führen, bleibt bis jetzt unbeantwortet.

Projektliteratur:

1. K. WILMA´NSKI, On the acoustic waves in two-component inear poroelastic materials, WIAS-Preprint No. 312 (1997).
2. K. WILMA´NSKI, On the time of existence of weak discontinuity waves in poroelastic materials, WIAS-Preprint No. 366 (1997), erscheint 1998 in: Arch. Mech.
3. K. WILMA´NSKI, Acoustic waves in isothermal two-component poroelastic materials with diffusion, erscheint 1998 in: Cont. Mech. Therm.