Bearbeiter: M. Nussbaum, V. Spokoiny
Kooperation: I. Grama (Akademie der Wissenschaften, Moldawien), P. Greenwood (University of British Columbia, Kanada), G. Golubev, V. Pukhalski (Institut für Probleme der Informationsübertragung Moskau, Rußland)
Förderung: SFB 373 ,,Quantifikation und Simulation ökonomischer Prozesse``, Humboldt-Universität zu Berlin
Beschreibung der Forschungsarbeit:
Die grundlegende Aufgabe der asymptotischen Theorie statistischer Experimente ist die Approximation allgemeiner statistischer Modelle durch einfachere; es entsteht eine Theorie, die sich abstrakter Konzepte bedient und von großer Tragweite für die Statistik ist. Ein zentrales Thema der Forschungsgruppe in den letzten Jahren war in diesem Zusammenhang die asymptotische Äquivalenz nichtparametrischer Experimente zu Gaußschen Folgen im Sinne des Defizienzabstandes. Nachdem hierzu ein Durchbruch bei der Schätzung der Wahrscheinlichkeitsdichte erzielt werden konnte (vgl. [1]), steht die Verwirklichung eines größeren Programms für die zukünftigen Untersuchungen an; dieses beinhaltet den Nachweis globaler Gaußscher Approximationen in allen Modellen, in denen bisher lokale asymptotische Normalität nachgewiesen werden konnte. Eine unmittelbare Anwendung solcher Approximationen ist die ,,automatische`` Übertragung asymptotischer Minimax-Konstanten, vgl. [2].
Ein wichtiger Schritt konnte mit der Behandlung eines nichtgaußschen Regressionsmodells vollzogen werden (vgl. [3]). Die gewählte Form eines durch eine Exponentialfamilie und eine glatte Funktion determinierten Regressionsmodells ist in der neueren statistischen Theorie als ,,nonparametric generalized linear model`` bekannt; zentraler Punkt des Resultates ist die Möglichkeit einer globalen Approximation des Experiments mit Hilfe einer varianzstabilisierenden Transformation der Exponentialfamilie. Dies verallgemeinert in anschaulicher Weise die in [1] aufgezeigte Rolle der Quadratwurzel-Transformation beim Poissonprozeß. Mit derselben Methodik ergibt sich in [5] die globale white noise Approximation beim Problem der Spektraldichteschätzung eines Gaußschen stationären Prozesses, auf Basis der log-Transformation der Spektraldichte. Dieses Resultat beinhaltet allerdings zusätzlich die Möglichkeit der konstruktiven Realisierung der Äquivalenz, im Gegensatz zu den als Existenzsätze aufzufassenden Resultaten in [1] und [3]. Der Charakter als Existenzsatz ist bedingt durch den Einsatz der Ungarischen Konstruktion (KMT-Ungleichung), die in der für das Regressionsmodell geeigneten Fassung in [4] bereitgestellt wurde.
Die Resultate zur nichtparametrischen Autoregression [6] sind aufzufassen als Ausgangspunkt für ein vertieftes Studium von statistischen Experimenten abhängiger Beobachtungen (Punktprozesse, Diffusionsprozesse). Die dafür entwickelte Methodik des coupling von Likelihood-Prozessen anhand der Skorokhod-Einbettung wurde bislang nur in Vorträgen vorgestellt (s. [7]); enge Zusammenhänge bestehen zu den Arbeiten für nichtparametrische Zeitreihenmodelle (s. Teilprojekt Statistische Ökonometrie, Literaturangaben [3], [4]).
Grundlegende Resultate zum Teilprojekt Large deviation principle für statistische Experimente finden sich in der Arbeit [8]. Es wurde gezeigt, daß das large deviation principle für typische statistische Modelle gilt: Stichproben von unabhängigen identisch verteilten Zufallsgrößen, Regressionsmodelle, Dichtemodelle, etc. Eine allgemeine Methode zur Lösung statistischer Aufgaben bei Gültigkeit dieses Prinzips wurde entwickelt, z. B. für das Testen zweier oder mehrerer zusammengesetzter Hypothesen, das Aufstellen von Konfidenzintervallen etc. Die Arbeiten [9] und [10] stehen damit in engem Zusammenhang.
Ein weiteres Teilprojekt betraf die nichtparametrische Schätzung
unglatter Funktionale. Die existierende Literatur zur Schätzung von
Funktionalen unterscheidet zwei typische Fälle:
entweder das Schätzen eines glatten Funktionals (wie z. B. das Integral
einer
unbekannten Funktion, die im Rauschen beobachtet wird)
oder das Schätzen eines singulären Funktionals
(wie der Wert der Funktion in einem Punkt).
Im Fall eines glatten Funktionals wird typischerweise die optimale
Schätzrate
, erreicht, wohingegen ein
singuläres Funktional nur mit der nichtparametrischen Rate
geschätzt werden kann (wenn
die Glattheit der Funktion ist.).
A. P. Korostelev stellte in [11] das Problem der Schätzung der 
-Norm
; das behauptete Ergebnis hierfür
(Konvergenzgeschwindigkeit der singulären Art) stellte sich jedoch als
fehlerhaft heraus.
Eine Korrektur und eine gründliche Untersuchung des Falles unglatter
Funktionale
wurde in [12] vorgenommen.
Projektliteratur: