next up previous contents index
Next: Reaktions-Diffusionsgleichungen mit Anwendungen Up: Previous: Modellierung und 2D-Simulation

Untersuchung eines mathematischen Modells der Chemotaxis

Bearbeiter: H. Gajewski, K. Zacharias  

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Für die Chemotaxis als orientierte Wanderung von Organismen unter dem Einfluß chemischer Substanzen ist von Keller und Segel ein mathematisches Modell vorgeschlagen worden, das im einfachsten Falle auf ein Reaktions-Diffusionssystem der folgenden Bauart führt:

Sei die Populationsdichte, die Dichte des chemotaktischen Agens, dann gilt für ( die Zeit, der Ortsvektor)

in , wobei ein beschränktes, stückweise glatt berandetes Gebiet der Ebene ist. Auf dem Rand von werden homogene Neumann-Bedingungen vorgeschrieben, für seien Anfangswerte vorgegeben; , , , sind positive Konstanten. Mathematische Schwierigkeiten ergeben sich dadurch, daß in dem System neben der i. a. stabilisierenden Diffusion eine Driftbewegung entgegen einem Konzentrationsgradienten, d. h. eine Art negativer (destabilisierender) Diffusion wirkt. In der Tat kann man Anfangswerte konstruieren, für die das System ,,blow-up ``zeigt. Zeitlich globale Lösungen für das Chemotaxissystem sind also nur unter speziellen Bedingungen zu erwarten.

Das Schlüsselergebnis unserer Untersuchungen ist die Erkenntnis, daß das System (1) die Lyapunov-Funktion

besitzt. Diese Funktion fällt entlang Lösungen mit wachsender Zeit und bleibt nach unten beschränkt, sofern die Bedingung

erfüllt ist, wobei der minimale Innenwinkel zwischen den bildenden glatten Randkurven ist. (Numerische Experimente deuten darauf hin, daß die angegebene Schranke scharf ist.) In diesem Falle existieren globale Lösungen, und ihr asymptotisches Verhalten kann wie folgt charakterisiert werden:

Mit den

genügenden räumlichen Mittelwerten

bilde man

Dann existiert eine Folge und Funktionen , so daß

und der asymptotische Zustand genügt mit

Offenbar hat die nichtlineare Gleichung (2) die triviale Lösung . Man kann jedoch Anfangsbedingungen angeben, für die der zugehörige asymptotische Zustand nichttrivial ist.

Projektliteratur:

  1. H. GAJEWSKI, K. ZACHARIAS, Global behaviour of a reaction-diffusion system modelling chemotaxis, WIAS-Preprint No. 232, Berlin 1996; erscheint in: Math. Nachr.



next up previous contents index
Next: Reaktions-Diffusionsgleichungen mit Anwendungen Up: Previous: Modellierung und 2D-Simulation



wwwadmin@wias-berlin.de
Mon Feb 17 13:38:21 MET 1997