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Wavelet-Approximationsmethoden für das äußere Dirichletproblem für die Helmholtzgleichung

Bearbeiter: B. Kleemann, S. Prößdorf

Förderung: DFG

Kooperation: W. Dahmen (RWTH Aachen), R. Schneider (TH Darmstadt), Ch. Schwab (ETH Zürich)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Das äußere Dirichlet Problem für die Helmholtzgleichung führt nach einem Einfachschichtpotentialansatz auf die folgende logarithmisch singuläre Integralgleichung erster Art ([1]):

 

wobei und , die Parametrisierung des glatten Randes ist. bezeichnet die Hankelfunktion 0. Ordnung und 1. Art und die Wellenzahl.

Zur Lösung von (1) werden Wavelets zusammen mit einem volldiskreten Kollokationsverfahren [7, 5, 6] verwendet. Dazu werden als Ansatzfunktionen stetige, stückweise lineare biorthogonale Wavelets mit zwei verschwindenden Momenten mit folgender Maske verwendet: . Auch diese bilden eine Rieszbasis ([8]), so daß die theoretischen Ergebnisse von [2, 3, 4] Anwendung finden können.

Wegen der Kollokationsmethode werden auf der Testfunktionalseite Punktauswertungen benötigt. Deshalb stellen die verwendeten Funktionale von Brandt/Lubrecht adäquate ,,Wavelets`` im Raum der -Distributionen dar. In den Rechnungen haben beide Funktionen, sowohl die Wavelets als auch die Testfunktionale , zwei verschwindende Momente, d. h., sie sind orthogonal zu konstanten und linearen Funktionen.

Mit dem folgenden a-priori Kompressionskriterium, das in [3] aufgestellt wurde, brauchen nur die Matrixelemente berechnet und abgespeichert zu werden, die die folgende Bedingung erfüllen:

Hier bezeichnen wir mit den Träger der , mit den Träger der , und a ist eine Konstante, die noch geeignet gewählt werden muß. Auch für diese Wahl kann man eine einfache und praktisch handhabbare Bedingung angeben ([6]). Wegen des volldiskreten Verfahrens wird die Integration mittels numerischer Quadratur realisiert.

Der Schwerpunkt des Projektes lag in der Implementierung des Verfahrens und im Vergleich mit anderen bekannten Methoden anhand wichtiger Testbeispiele. So wurden Beispiele mit einem Kreis, einer Ellipse und einem tragflügelähnlichen Streuprofil für unterschiedliche Wellenzahlen gerechnet. Wie in der Ingenieurliteratur üblich, wurde auch die Streuamplitude im Fernfeld und die RCS berechnet. Dort, wo Vergleichswerte vorlagen, konnten diese verifiziert werden. Wellenzahlen bis 10 bereiteten keine ernsten Schwierigkeiten. Bei Wellenzahlen weit darüber hinaus (so wurde auch mit gerechnet) mußte die Kompressionsrate drastisch gesenkt und die Anzahl der Diskretisierungpunkte deutlich erhöht werden, um noch die gewünschte Konvergenzgeschwindigkeit zu erhalten und ein brauchbares Resultat zu erzielen.

In allen Fällen erhalten wir trotz nahezu optimaler Kompressionsrate die theoretisch zu erwartende Konvergenzordnung 2 (wegen der linearen Ansatzfunktionen und der Trapezregel bei der Quadratur) sowohl für die Lösung als auch für Funktionale der Lösung. So kann dieses Verfahren aufgrund seiner Kompressionsraten ( für N=4000) schon für Probleme eingesetzt werden, die mit einem üblichen Kollokationsverfahren nicht mehr behandelbar wären.

Wie die Quadratur zu gestalten ist, um letztendlich schneller als ein übliches Diskretisierungsverfahren zu werden, wurde in [9] angegeben. Dazu wurden schon einige numerische Tests vorgenommen, die die Überlegenheit der neuen Strategie deutlich ausweisen. Dazu muß der Abstand des Trägers des Testfunktionals von dem Träger des aktuellen Wavelets, über das gerade integriert wird, bei der Quadratur mit berücksichtigt werden. Auch der Beitrag, den dieses Integral zum jeweiligen Element der Steifigkeitsmatrix leistet, hat in die Genauigkeit der durchzuführenden Quadratur einzugehen.

Projektliteratur:

  1.   D. COLTON, R. KRESS, Integral equation methods in scattering theory, Springer 1992.

  2.   W. DAHMEN, S. PRÖSSDORF, R. SCHNEIDER, Wavelet approximation methods for pseudodifferential equations I: Stability and convergence, Math. Z. 215, 583-620 (1994).

  3.   W. DAHMEN, S. PRÖSSDORF, R. SCHNEIDER, Wavelet approximation methods for pseudodifferential equations II: Matrix compression and fast solution, Advances in Computational Mathematics, 1 (1993), 259-335.

  4.   W. DAHMEN, S. PRÖSSDORF, R. SCHNEIDER, Multiscale methods for pseudodifferential equations, in: Recent Advances in Wavelet Analysis, L.L. Schumaker, G. Webb (eds.), Academic Press, Boston 1993, 191-235.

  5.   W. DAHMEN, B. KLEEMANN, S. PRÖSSDORF, R. SCHNEIDER, Multiscale methods for pseudodifferential equations, Proceedings ICIAM'95 Hamburg, erscheint in: ZAMM.

  6.   W. DAHMEN, B. KLEEMANN, S. PRÖSSDORF, R. SCHNEIDER, Multiscale methods for the solution of the Helmholtz and Laplace equations, erscheint in: Boundary Element Methods 1989--1995, Reports of the DFG, Ed.: W. Wendland, Springer 1996.

  7.   B. KLEEMANN, Wavelet algorithm for the exterior Dirichlet problem of the HELMHOLTZ equation, Tagungsbericht 42/1994: ,,Boundary Element Methods: Application and Error Analysis``, Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, Oktober 1994.

  8.   A. RATHSFELD, A wavelet algorithm for the solution of the double layer potential equation over polygonal boundaries, J. Integral Equations Appl., Vol. 7, No. 1 (1995), 47-98.

  9.   R. SCHNEIDER, Multiskalen- und Wavelet-Matrixkompression: Analysisbasierte Methoden zur effizienten Lösung großer vollbesetzter Gleichungssysteme, Habilitationsschrift, TH Darmstadt, 1995.


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Mon May 13 20:25:53 MET DST 1996