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Stabilität und Konvergenz in der Numerik stochastischer Differentialgleichungen

Bearbeiter: H. Schurz, K. R. Schneider (FG 2)

Kooperation: P. E. Kloeden (Deakin University, Geelong), W. P. Petersen (ETH, Zürich), Y. Saito (Shotoku College, Gifu-Shi)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Die numerische Lösung stochastischer gewöhnlicher Differentialgleichungen (SODEs) und deren qualitatives Verhalten steht im Mittelpunkt dieses Projekts. Es sind zahlreiche stochastisch-numerische Verfahren bekannt, siehe z. B. [1] - [4]. Der Schlüssel zur effektiven Konstruktion und Analyse stochastisch-numerischer Verfahren liegt im Verständnis des Wechselspiels zwischen Stabilität, Konsistenz, Konvergenz und Komplexität der damit verbundenen Algorithmen, wie in der deterministischen Numerik (vgl. [1]).

In [5] und [8] wurden Stabilitätsuntersuchungen an bilinearen, mehrdimensionalen Testgleichungen mit multiplikativem Rauschen durchgeführt. Dabei wurde im wesentlichen auf die Theorie und Eigenschaften positiver Operatoren zurückgegriffen. Es wurden u. a. das Quadratmittelstabilitätsverhalten der impliziten Milstein-Methoden und der impliziten Balance-Methoden bezüglich der Nullösung analysiert. Dabei erwies sich die Stabilität der impliziten Euler-Methoden als eine notwendige Bedingung für die Stabilität der impliziten Milstein-Methoden. Des weiteren konnte eine hinreichende Bedingung für die Quadratmittelstabilität der impliziten Euler-Methoden gefunden werden. Außerdem ist die Korrektur mit stochastischen Termen in den Balance-Methoden für deren Quadratmittelstabilität nicht notwendig. Alle bisher genannten numerischen Methoden folgen dem Prinzip der monotonen Inklusion der Quadratmittel-Stabilitätsbereiche. Zur Quadratmittelstabilitätsindikation (adäquates Stabilitätsverhalten) eignen sich nur implizite Trapez- und Mittelpunktsregeln! Die beschriebenen Resultate reduzieren erheblich den Aufwand bei der Konstruktion ,,stochastisch-stabiler'' numerischer Verfahren. Eine ähnliche Analyse konnte für die Klasse von linearen SODEs mit additivem Rauschen durchgeführt werden, s. [9].

Ein weiteres Problem stellt sich mit der Regularisierung numerischer Lösungen. Die am meisten benutzten Verfahren wie die der Euler- und Milstein-Methoden verlassen beschränkte Teilgebiete (Unterräume), im Gegensatz zu einigen zugrundeliegenden zeitstetigen dynamischen Systemen. In einigen Fällen kann dieses Problem ohne Raumdiskretisierung gelöst werden. Dazu eignet sich die Klasse der impliziten Balance-Methoden (BIMs), siehe [7]. Der Zusammenhang zwischen ,,wachsender Implizitheit'' und der Forderung von algebraischen Nebenbedingungen spielt eine wesentliche Rolle bei der Konstruktion adäquater numerischer Lösungen. In der Stochastik wurde dieser Zusammenhang erstmalig in [7] offengelegt und bildet somit einen Ausgangspunkt für die numerische Analyse stochastischer differential-algebraischer Gleichungen (SDAEs) sowie zweiseitiger Randwertprobleme. Zur Konstruktion von effizienteren Verfahren zur Lösung höherdimensionaler Probleme eignen sich linear-implizite Methoden (stochastische Rosenbrook-Methoden als Verallgemeinerung deterministischer linear-impliziter Methoden, siehe [1], [8]). Wir beweisen schwache Konvergenz und Konvergenz im quadratischen Mittel der entsprechenden numerischen Lösungen gegen die exakte Lösung unter den allgemein üblichen Lipschitz- und Beschränktheitsbedingungen. Die Überlegenheit dieser Methoden zeigt sich in der relativ einfachen Implementierung, in der Effizienz und in der Möglichkeit, damit Quadratmittel-A-stabile numerische Lösungen zu erzielen. Zur pfadweisen Kontrolle muß man aber stochastische Implizitheit berücksichtigen, z. B. durch BIMs.

Projektliteratur:

  1. P. DEUFLHARD, F. BORNEMANN, Numerische Mathematik II: Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen, Walter de Gruyter, Berlin, 1994.
  2. P. E. KLOEDEN, E. PLATEN, H. SCHURZ, Numerical solution of stochastic differential equations through computer experiments, Universitext, Springer, Berlin, 1994.
  3. G. N. MILSTEIN, Numerical integration of stochastic differential equations, Kluwer Academic Publisher, Dordrecht, 1995.
  4. W. WAGNER, Stochastische numerische Verfahren zur Berechnung von Funktionalintegralen, Habilitationsschrift, Report R-MATH-02/89, IMATH, Berlin, 1989.
  5. H. SCHURZ, Asymptotical mean square stability of an equilibrium point of some linear numerical solutions with multiplicative noise, Stoch. Anal. Appl. 14 (3), 1996.
  6. H. SCHURZ, A note on pathwise approximation of stationary Ornstein-Uhlenbeck processes with diagonalizable drift, WIAS-Preprint No. 112, Berlin, 1994.
  7. H. SCHURZ, Numerical regularization for SDEs: Construction of nonnegative solutions, WIAS-Preprint No. 160, Berlin, 1995, erscheint in: J. Dyn. Sys. Appl.
  8. H. SCHURZ, Lecture Notes on Numerical Analysis of Stochastic Differential Equations, Humboldt-Universität, Technische Universität, Berlin, 1994--1996.


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Mon May 13 20:25:53 MET DST 1996